Integral Anwendungen

In naturwissenschaftlichen oder mathematischen Diskussionsboards oder in Vorlesungen oder Seminaren zur Angewandten Mathematik wird man immer wieder das Integral als mathematische Rechnungsart benutzen müssen, um beispielsweise Produkte der Art  f(x) * t berechnen zu können. Nachfolgend sollen einige Rechnungen vorgeführt werden.

Weg als Geschwindigkeit mal Zeit

Da die Geschwindigkeit als Wegzunahme pro Zeiteinheit,

definiert ist, kommt man auf den Weg, indem man die Gesamtzeit einfach mit der Geschwindigkeit multipliziert, d.h.

Soweit so gut. Etwas komplizierter wird es, wenn es sich um eine beschleunigte Bewegung handelt, so dass die Geschwindigkeit ständig größer wird und somit eine Funktion von der Zeit v(t) darstellt. Da die Beschleunigung wiederum als Geschwindigkeitszunahme pro Zeiteinheit definiert ist, kommt man auf die Geschwindigkeit, indem man den Zahlenwert der Beschleunigung mit der Gesamtzeit multipliziert, d.h.

Wollte man jetzt den Weg bei einer solchen beschleunigten Bewegung bestimmen, so müsste man in einem Diagramm Rechtecke bilden, die als Ordinate das Produkt a*t und als Abzisse ein kleines Zeitintervall

enthalten würden. Das Aufsummieren solcher Rechtecke stellt die typische Anwendung des Integrals dar, so dass geschrieben werden kann, dass der Weg s gleich:

und wenn t1 = 0 ist, dann

wobei dies dann auch die bekannte Formel 

ist. Will man also wissen, welchen Weg s ein Stein in t = 2 Sekunden zurück legt, den man in einen Brunnenschacht fallen lässt, dann kann man mit der konstanten Fallbeschleunigung

rechnen - gebräuchlich ist hier das Formelzeichen g. Somit könnte selbstverständlich die Formel

benutzt werden, da es um das Thema Integral gehen soll, also dies auch noch einmal per Integral:

Arbeit als Kraft mal Weg
Bei konstantem Kraftaufwand wird die Arbeit (Energie) einfach aus Kraft mal Weg,

berechnet. Allerdings bleibt die Kraft nicht immer konstant, so dass wiederum die Summe von Rechtecken aus

gebildet werden muss. Ein Anwendungsbeispiel wäre hier die Energie einer gespannten Feder, wobei sich die Federkraft aus dem Produkt der Federkonstanten D und dem Weg s berechnet, d.h. 

Wiederum kann man sich zur Berechnung der Arbeit einer gespannten Feder die Summe von Rechtecken aus

d.h.

vorstellen, so dass wiederum das Integral Verwendung finden kann:

und wenn bei s1=0 begonnen wird, dann 

was allgemein die Formel 

wäre.

Code:
ec60ad