Willkommen auf meinem Weblog / Welcome to my blog

Es startet die Entdeckungstour auf verschlungenen Pfaden zu unentdeckten physikalischen Forschungen und Themen, die sich ergebnislos im Gespräch befanden und deren Rätsel durch dieses Blog kaum gelöst, aber zumindest gemeinsam etwas bedacht und besprochen werden können. Was sonst noch als bedeutsam im Leben oder der Umgebung wahrgenommen wird, landet hier auch. Der Leser kann selber problemlos kommentieren - was als Feedback und Ergänzung der Artikel wünschenswert wäre.
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A short translation of the article in English You find at the end of the blog.

Donnerstag, 25. Februar 2010

Unendliche Zahlenmengen / Infinite sets of numbers

Einführung
Man frage sich einmal, bis zu welcher Natürlichen Zahl man zählen könne - geschätzt wäre es für einen Menschen eventuell möglich bei ununterbrochenem Zählen bis 500000 zu kommen. Wenn solcher Zählwettbewerb alle Vierteljahr wiederholt wird, dann werden es andere Zahlen sein, bis zu denen man maximal zählend kommt. Wobei ein Weiterzählen nach einer solchen Zählgrenze dann diffuse Zahlen bringen würde, das sich bis zur Unentzifferbarkeit der sprachlichen Äußerungen verlängert. Diesen Vorgang des Zählens eines Individuums könnte man auf die Frage übertragen, ob es unendliche Zahlenmengen überhaupt geben könne - was ja behauptet wird. Man könnte sich jetzt eine Zahl vorstellen, deren Ziffern sich quer durch den gesamten Weltraum aufreihen würden.

Rechnen mit unendlich großen Zahlenmengen
Man lernt und erinnert sich, dass eine unendlich große Zahlenmenge wiederum größer als eine andere unendlich große Zahlenmenge sein kann, z.B. soll gelten, dass die Mächtigkeit von IR (Reelle Zahlen) größer sein soll als die Mächtigkeit von IN (Natürliche Zahlen). Für solche unendlich großen Anzahlen hat sich eine Ordnung mit Hilfe des Zeichens Aleph eingebürgert, wobei Aleph_0 dann eine kleinere unendliche Mächtigkeit ist als Aleph_1. Dies entspräche auch einer gewissen Logik, dass eine unendlich große Zahlenmenge IN dann wiederum kleiner wäre als eine unendlich große Zahlenmenge IR, die zwischen jeder Natürlichen Zahl wiederum unendlich viele Reelle Zahlen anordnet, die wiederum unendlich groß sind. Dies waren eigentlich nur einführende Überlegungen für die eigenen Studien. Konkret wird es dann bei der mathematischen Modellierung von Punkt und Gerade. Um eine Vermittlung zwischen abstrakter reiner Mathmatik und Geometrie einerseits und konkreter physikalischer Umwelt andrerseits zu schaffen, war einmal angenommen worden, dass ein Punkt unendlich klein sein soll, d.h. kleiner als ein Atom, Elektron oder sonstiges Nukleon. Dann könnte man sich wiederum vorstellen, dass sich eine Strecke von 10 cm aus unendlich vielen unendlich kleinen Punkten zusammen setzt. Somit hätte man dann wiederum eine Bestätigung der Ordnungsrelation mit Hilfe des Aleph-Begriffes, d.h. man könnte sich vorstellen, dass die unendliche Anzahl der Punkte einer 10 cm langen Strecke kleiner wäre als die einer 20 cm langen Strecke und könnte die Anzahl der Punkte der 10cm-Strecke als Aleph_0 bezeichnen und die Anzahl der Punkte der 20cm-Strecke als Aleph_1. Ein bisher noch nicht richtig gelöstes Problem scheint es mit der Annahme zu geben, dass prinzipiell die Möglichkeit unendlich große Zahlen zu speichern und zu berechnen begrenzt ist. Dieser Sachverhalt war bereits beschrieben worden: Die Zahldarstellung per Zählung, Rechnung und Speicherung von Zahlen ist beim menschlichen Subjekt begrenzt. Ebensolche Grenzen könnten für jedes Rechenzentrum definiert werden, selbst dann, wenn man von jahrhundertelangen Rechenvorgängen ausgehen würde. Insofern käme man auf die Idee, dass unendlich mächtige Zahlenmengen prinzipiell nicht darstellbar, rechenbar und speicherbar wären und dass es - wie gesagt - in einem Grenzbereich zu diffusen Darstellungen von Zahlen käme. Wenn dann meistens zwischen Mengen mit ihren - gegenständlichen - Elementen und den Zahlen die Beziehung bestand, dass man die Anzahlen der Gegenstände (Elemente) auf die Natürlichen Zahlen abbildete und somit abstrahierte, würde man nun beim Umgang mit unendlich großen Zahlen umgekehrt vorgehen müssen, dass unendlich große Zahlen auf vorgestellte Strecken oder Volumina gegenständlich abgebildet werden sollten, so dass man sagen könnte, dass die Mächtigkeit der Menge der Natürlichen Zahlen auf eine 10 cm lange Strecke und die Mächtigkeit der Reellen Zahlen auf die Anzahl der Punkte einer 100 cm langen Strecke abgebildet wird. Nun - diese Überlegungen werden sicherlich noch fortgesetzt, zumindest soll die prinzipielle Berechenbarkeit von Unendlichkeiten mit Hilfe von Zahlen etwas hinterfragt und auf mögliche Lösungen hingewiesen werden.

Lücken auf dem Zahlenstrahl von IR?
Wenn man die Aussage überprüft, dass zwischen zwei Zahlen auf einem Zahlenstrahl mit Reellen Zahlen IR wiederum eine weitere Zahl sich befinden sollte, dann käme man bei dieser Annahme darauf, dass die Anzahl der Dezimalstellen prinzipiell begrenzt wären oder es dann einen diffusen Bereich von unsicherer Zahldarstellungen gäbe, so dass Lücken auf dem Zahlenstrahl von IR vorhanden wären.


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Translation in English:
Infinite sets of numbers
Up to what number somebody could count the natural numbers. Estimated it would be possible for someone to come by continuous counting on to 500000. If such competition is repeated every three months, then there will be other numbers, up to a maximum of whom one is counting. With continue counting after that limit of counting, you can listen that the person whispers diffuse figures. This process of counting by an individual person could be transferred to the question of whether there could be exist infinite sets of numbers at all. One could now imagine a number whose figures would across the entire space. One learns and remembers that an infinite set of numbers in turn is greater than another infinite set of numbers can be. For example, IR (real numbers) should be greater than IN (Natural numbers). Are there gaps on the number line of IR? If one examines the claim that between two numbers on a number line with real numbers IR again another number should be located, then you come to the assumption that the number of decimal places would be limited in principle or it would then be a diffuse area of uncertain number representations, the fact that gaps exist on the number line of IR would be.

Sonntag, 21. Februar 2010

Wirkungsweise mechanischer Uhren / About the operation of a mechanical clock

Einführung
Das Thema "Wirkungsweise mechanischer Uhren" ist ein exemplarischer Unterrichtsgegenstand an welchem eine Vielzahl physikalischer, technischer und handwerklicher Themen behandelt werden kann. Dies wäre vielleicht eine Motivation sich mit Uhren zu befassen. Allerdings wird seit Albert Einstein und besonders im Zusammenhang mit Diskussionen zu Zeitmessungen, ständig die Funktion von Uhren berührt, aber nicht inhaltlich durchgezogen. Meistens geht es um Störeinflüsse auf die Ganggenauigkeit und die Frage, ob eine analoge, mechanische Uhr beispielsweise durch Änderungen der Schwerkraft aufgrund von Höhenänderungen eine Verstellung erfährt. Doch sollen diese Anlässe hier nicht zur Debatte stehen, da erstmal eine Grundlage geschaffen werden muss, ehe weitere Gespräche erfolgen können.

Allgemeines zur Wirkungsweise einer mechanischen Uhr
Die wesentlichen Teile einer Uhr heißen Uhrwerk und befinden sich in einem "Gestell", welches an der Außenseite das Zifferblatt trägt. Durch den Mittelpunkt geht die verlängerte Achse des Minutenrades und trägt auf seinem Ende den Minutenzeiger, welcher in einer Stunde sich einmal rund um das Zifferblatt bewegt. An derselben Achse befindet sich noch das Minutengetriebe, welches das Wechselrad mit seiner Achse und dem daran befindlichen Getriebe treibt, durch welches das Stundenrad bewegt wird, welches sich einmal in zwölf Stunden dreht. Das Minutenrad wird mittels eines Getriebes von dem Zahnrade gedreht, welches von der Feder in Bewegung gesetzt wird, indem sie sich von dem Federstifte abwickelt, um welchen sie mittels des sogenannten Aufziehens zusammengezogen worden ist. Daß dies mit einer dem Zeitmaß entsprechenden Langsamkeit geschieht, bewirkt die Hemmung. Das Minutenrad wird durch ein Getriebe an der Achse eines Rades von zu schneller Bewegung abgehalten, dessen Umdrehung wieder von einem Getriebe an der Achse des Kronrades geregelt wird, das vom Steigrade abhängig ist, welches die regulirende Wirkung der Unruhe auf das Ganze überträgt. Diese läßt vom Steigrade in gleichmäßigen Zeiträumen nur Zahn für Zahn entweichen. Sie bewegt sich nämlich fortwährend um ihre Achse (Spindel) ebenmäßig hin und her, was durch eine höchst elastische Spiralfeder geschieht, die sich, da die an der Spindel befindlichen Anker oder Lappen in das Steigrad eingreifen bei der Umdrehung nach einer Seite um die Achse aufwickelt, dann aber, sobald der Spindellappen oder Anker das Steigrad verlassen hat, soweit die Unruhe veranlasst, sich zurückzudrehen, daß die Feder nach der entgegengesetzten Seite wirkt und so die Hin- und Herdrehung bewirkt. Das Schwungrad der Unruh muß sorgfältig abgeglichen sein, was für den gleichförmigen Gang einer Uhr unerlässlich ist. In den Taschenuhren befindet sich die bewegende Feder in einer einer Trommel gleichen Kapsel, dem Federgehäuse. Die Unruh funktioniert im Prinzip wie bei einer Pendeluhr. Doch statt eines Pendels wird eine Spiralfeder verwendet. Die Feder ist mit dem Metallreifen über seine Achse verbunden. Aufgerollt will sich die Feder natürlich wieder entrollen. Während sie sich entrollt, dreht sich der Metallreifen mit. Doch irgendwann hat die Feder nicht mehr genügend Kraft, um den Metallreifen mitzuziehen. Der Reifen schwingt nun zurück und rollt dabei die Feder wieder auf. Ab einem bestimmten Punkt kann die Feder nicht mehr aufgerollt werden und die Spiralfeder entrollt sich wieder. Wenn der Metallreifen nun hin und her schwingt, löst er dabei immer wieder den Anker (Lappen) und die Uhr läuft weiter. Wenn sich der Anker löst, bzw. wieder ins Zahnrad greift, hört man die Uhr ticken. Die Feder verliert bei diesem Hin und Her immer mehr Kraft, durch Reibung und Anderes. Daher "zieht" man die Feder auf, meist mit einem Schlüssel, oder direkt an der Uhr.

Die Hemmung
Zu den Hemmungsteilen gehört der Unruhreif. Er vereinigt den grössten Teil der rotierenden Masse einer Unruh in sich. Es ist ein metallener Reif, mit zwei bis vier Speichen, die die Verbindung mit der Unruhwelle ermöglichen. Der wichtigste Punkt am Unruhreif ist die Vermeidung von Unwucht. Eine nicht ausgewuchtete Unruh verusacht den sogenannten Lagefehler, d.h. Abweichungen bei der Zeitmessung abhängig von der Lage der Uhr. Dieser Fehler tritt aber nur bei einer stehenden Uhr auf (d.h. bei waagrecht liegender Unruhwelle), da bei einer Uhr, die auf dem Gehäuseboden oder dem Zifferblatt liegt, die Unwucht der Unruh keine Rolle spielt. Es gibt drei Methoden, die Unwucht zu verringern bzw. unwirksam zu machen: Bei den meisten alten Uhren findet man die Unruh mit Schrauben. Dabei werden in den Rand des Unruhreifs kleine Schrauben eingesetzt und solange ausgetauscht und eingestellt, bis die Unruh ausgewuchtet ist. Bei den meisten modernen Uhren findet man die schraubenlose Unruh. Bei dieser wird am Unruhreif einfach Material weggebohrt, bis die Unruh ausgewuchtet ist. Dieses System hat weniger Luftwiderstand als die Schrauben, ferner ist die Masse konzentrierter (d.h. man kann bei gleichem Unruhaussendurchmesser ein höheres Trägheitsmoment erreichen) und es ist natürlich billiger. Eine ganz andere Methode zur Beseitigung des durch Unwucht verursachten Fehlers verwendet das Tourbillon; es handelt sich dabei um ein Drehgestell, in dem sich Unruh, Spiralfeder und Hemmungsmechanismus befinden. Dieses Gestell dreht sich i.A. einmal pro Minute. Dabei werden alle Unwuchtfehler der Unruh gegenseitig ausgeglichen. Dieses System wurde etwa 1800 von Abraham Louis Breguet erfunden. Der Gedanke ist bestechend, allerdings ist dieses System extrem aufwendig und steht in keinem Verhältnis zum Nutzen.
Die Spiralfeder einer Uhr mit Unruh ist eine Drehfeder, d.h. ihre Hauptbewegungsrichtung ist rotatorisch. Aufgabe der Spiralfeder ist es, gegen die Schwungkraft der Unruh zu wirken, und damit einen Wechsel zwischen kinetischer Energie der Unruh und potientieller Energie der Spiralfeder zu ermöglichen. Die flache Feder ist die allgemein verwendete Bauform. Ihr Vorteil ist der geringe Platzbedarf und die einfache Herstellung.

Die Erfindung der mechanischen Hemmung ist identisch mit der Erfindung der mechanischen Uhr, da alle anderen Elemente wie Gewichtsantrieb und Räderwerk vorher schon bekannt waren.
Ein wesentliches Element einer Uhr ist ein schwingungsfähiges System (z.B. ein Pendel), dessen Schwingungsfrequenz zumindestens in erster Näherung von der Amplitude unabhängig ist. Nun kann man einen solchen Schwinger nicht einfach in der Hand halten, seine Schwingung anregen, und seine Schwingungen zählen. Aufgabe der Hemmung ist es, diese beiden Funktionen, also den Antrieb des Schwingers und das Zählen der Schwingungen zu erfüllen. Diese Funktionen werden bei den meisten konventionellen mechanischen Uhren auf folgende Weise erfüllt: Das letzte Zahnrad des Uhrwerks ist das Hemmungsrad, dass keine einfache Zykloidenverzahnung wie die sonstigen Zahnräder besitzt, sondern eine von der Hemmungsart abhängige Form. Mit dem Pendel oder der Unruh ist in irgendeiner Form ein Anker verbunden, der zwei Zähne (i.A. Paletten genannt) besitzt, die in das Hemmungsrad eingreifen können. Dabei greift bei einem Umkehrpunkt der Schwingung die eine Palette des Ankers in das Zahnrad ein, beim anderen Umkehrpunkt die andere Palette. Die Funktion des Zählens ist damit schon erfüllt: Nehmen wir an, ein Sekundenpendel befinde sich an seinem linken Umkehrpunkt. Eine Palette des Ankers greift in das Hemmungsrad ein, welches damit blockiert ist. Schwingt das Pendel zur anderen Seite, gibt es einen kurzen Moment, in dem die erste Palette das Rad freigibt, die andere aber noch nicht eingreift. Das Hemmungsrad kann sich um einen Zahn weiterbewegen. Besitzt das Hemmungsrad 30 Zähne, wird es sich in einer Minute einmal umdrehen, so dass der Sekundenzeiger auf dem Rad befestigt werden kann. So weit, so gut: allerdings wird das Pendel nach einigen Schwingungen durch Reibung an der Luft, den Hemmungsteilen seinen Schwung verloren haben und stehenbleiben. Es fehlt also noch der Antrieb. Dazu befindet sich an den Hemmungsradzähnen oder an den Paletten (oder an beiden) eine schiefe Ebene. Nehmen wir den einfachsten Fall eines sehr spitzen Hemmungsradzahnes und einer etwa rechteckigen Palette, die etwa parallel zu den Zähnen steht. Während der Bewegung des Pendels vom ersten Umkehrpunkt zur Mittelstellung bewegt sich die eine Seite der Palette entlang der Seite des Zahnes nach oben. Ist die Unterkante der Palette erreicht, wird der Zahn freigegeben. Liegt diese Unterkante nicht tangential zur Bahn der Zahnspitze, sondern in einer passend gewählten schiefen Ebene dazu, wird, während sich der Zahn weiterdrehen kann, die Palette vom Zahn ein wenig nach oben gedrückt. Diese Kraft wird zum Antrieb des Pendels (bzw. der Unruh) genutzt. Das Pendel wird also bei jeder Halbschwingung gleichzeitig auch angetrieben. Einige Begriffe bei der Hemmung: Das Pendel und Unruh beschreiben einen Kreisbogen, damit ebenso die Paletten. Dieser Bogen von einem Umkehrpunkt zum anderen wird in einige Bereiche unterteilt: Der Ergänzungsbogen ist der Teil der Bewegung, bei dem die Palette nur auf dem Hemmungsradzahn reibt und diesen sperrt. Da hierbei Reibung entsteht, ist dieser Bereich möglichst klein zu halten. Der Teilbogen, in dem der Antrieb erfolgt, wird Hebung genannt. Der Teilbogen, in dem das Hemmungsrad sich frei bewegen kann (bis es von der zweiten Palette gesperrt wird) wird Fall genannt. Auch dieser Bereich ist möglichst klein zu halten. Des weiteren unterscheidet man folgende Hemmungsarten: Bei der rückführenden Hemmung wird das Hemmungsrad während des Ergänzungsbogens in geringem Masse zurückgedreht. Bei der ruhereibenden Hemmung bleibt das Hemmungsrad in Ruhe. Letzteres ist i. A. vorzuziehen, da die Rückwärtsbewegung Reibung und Störungen in der Bewegung des Pendels verursacht. Es gibt allerdings auch Fälle, bei denen diese Effekte zur Kompensation anderer Störeinflüsse verwendet werden können. Man unterscheidet ferner zwischen freien und unfreien Hemmungen. Bei einer freien Hemmung wird der Ergänzungsbogen dadurch klein gehalten, dass es in diesem Bereich keinen oder wenig Kontakt zwischen Schwinger und Hemmung gibt. Bei der unfreien Hemmung befinden sich Schwinger und Hemmung permanent im Eingriff. Diese Hemmungen sind i.A. einfacher zu bauen, bringen aber mehr Störungen von der Hemmung auf den Schwinger.

Die Unruh
Mechanische Uhren verwenden als Zeitnormal ein Pendel, eine Unruh, oder in Einzelfällen ein Drehpendel.
Bei der Regulierung der Frequenz einer Unruh gibt es zwei Möglichkeiten: Aenderung der Spiralfederlänge oder Aenderung des Massenträgheitsmomentes der Unruh. Die erste Möglichkeit findet sich beim allergrössten Teil der Unruhuhren. Die Länge der Spiralfeder wird mit Hilfe des sogenannten Rückers eingestellt. Der Rücker ist eine Art winziger zweizinkiger Gabel, zwischen deren Zinken die Spiralfeder liegt. Diese Gabel ist auf einem Arm befestigt, der konzentrisch zur Unruhachse drehbar befestigt ist. Durch Drehen dieses Armes wird die wirksame Länge der Spiralfeder verändert, und damit die Schwingungsfrequenz der Unruh. Bei Präzisionsuhren (Schiffschronometer, einige Taschen- und Armbanduhren) wird die Regulierung der Frequenz durch Veränderung der Massenträgheit der Unruh eingestellt, da eine Veränderung der Spiralfederlänge den Isochronismus der Feder beeinträchtigt. Dazu befinden sich zwei Schrauben im Unruhreif, die zum Schnellerstellen der Uhr hineingedreht werden (und umgekehrt). Nachteil dieser Anordnung ist, dass die Uhr zum Regulieren jedesmal angehalten werden muss, dass man dabei an der empfindlichen Unruh herumschrauben muss, und dass die Unruh bei jeder Regulierung wieder ausgewuchtet werden muss.
Der grosse Nachteil des Pendels ist die Unmöglichkeit, damit bewegliche (tragbare) Uhren zu bauen. Die Unruh erlaubt dies. Die Unruh (oder genauer Unruh und Spiralfeder) ist ein Schwingsystem bei dem die rotatorische kinetische Energie einer sich drehenden Masse umgesetzt wird in die potientelle Energie einer Spiralfeder. Wenn die Unruh genau ausgewuchtet ist, ist die Schwingfrequenz des Systems unhabhängig von der Lage im Raum. Wenn die Spiralfeder genau dem Hookeschen Gesetz folgt, ist das System auch von der Schwingungsweite unabhängig (isochrones Schwingen). Erfunden wurde die Spiralfeder an der Unruh um 1680, relativ gleichzeitig von Huygens und Hooke.
Eingesetzt wird die Unruh bei allen Uhren, die einer Bewegung ausgesetzt sind, d.h. Armband- und Taschenuhren, Schiffschronometern und Schiffsuhren, Borduhren für Fahr- und Flugzeuge, technische Laufwerke und bei Weckern (die stehen zwar normalerweise auf dem Nachttisch, sie werden aber auch oft herumgetragen und bewegt), ferner wird die Unruh bei den meisten Grossuhren ab den 60er Jahren eingesetzt. Das System Unruh und Spiralfeder besteht aus vier Komponenten: Die Unruhwelle, auf der sich die Unruh dreht. Der Unruhreif, der die sich drehende Masse der Unruh in sich vereint. Die Spiralfeder, die die Gegenkraft zur Schwungkraft des Unruhreifs liefert,
Mechanischer Antrieb
Bei den mechanischen Antrieben gibt es wiederum zwei Systeme: den Antrieb durch eine Zugfeder
den Gewichtsantrieb. Bei der Zugfeder wird die gespeicherte elastische Energie einer Spiralfeder zum Antrieb der Uhr ausgenutzt, beim Gewichtsantrieb die potentielle Energie einer Masse. Viele mechanische Grossuhren besitzen neben der reinen Zeitanzeige akustische Sonderfunktionen, wie einen Wecker oder ein Stundenschlagwerk. Im allgemeinen erfolgt der Antrieb dieser Zusatzfunktionen auf die gleiche Weise wie der Uhrwerksantrieb, d.h. ein mechanischer Wecker besitzt Zugfedern für Uhrwerks- und Weckerantrieb, eine Kuckucksuhr Gewichte für Uhrwerk und Schlagwerk. Gelegentlich findet man bei moderneren Wanduhren einen Gewichtsantrieb für das Uhrwerk und einen Federantrieb für das Schlagwerk. Ein technischer Unterschied zwischen den Antrieben für Schlag- und Uhrwerk besteht im allgemeinen nicht.
Die Zugfedern bei Grossuhren und einfachen Kleinuhren bestehen aus wärmebehandelten Stahl. Nachteil dieses Materials ist die begrenzte Lebensdauer, da diese Federn nach langer Benutzung brechen können. Bei hochwertigen modernen Armbanduhren werden fast ausschliesslich Federn aus höchst komplizierten Legierungen verwendet, die weniger leicht brechen und ausserdem rostfrei sind. Beim mechanischen Antrieb mit Zugfeder gibt es zwei Systeme: Antrieb mit offener Zugfeder und Antrieb mit umlaufendem Federhaus. Das Federhaus ist ein Bauteil, dass man in vielen Grossuhren leicht erkennen kann:
ein grosser Messingzylinder, der an einer Stirnfläche verzahnt ist. In diesem Zylinder ist die Zugfeder spiralförmig aufgewickelt. Die Verzahnung des Federhauses stellt das erste Zahnrad der Uhr dar. Im Gegensatz dazu steht die offene Feder, die in den meisten Weckern und einigen sehr billigen grossen Federzuguhren verwendet wird. In einer solchen Uhr ist die Spiralfeder offen eingebaut und als aufgewickeltes Stahlband im Uhrwerk zu erkennen. Alle Armband- und Taschenuhren und alle besseren Grossuhren verwenden das umlaufende Federhaus. In diesem Fall wird die Zugfeder von der Achse des Federhauses aus (am inneren Ende der Feder) aufgezogen, die Kraftabgabe erfolgt am äusseren Ende der Feder, die am Federhaus eingehängt ist. Das Federhaus dreht sich also während die Uhr abläuft (daher der Name umlaufendes Federhaus). Die Achse des Federhauses wird durch die Kraft der Feder zurückgetrieben (entgegen der Kraft des Aufziehenden). Man benötigt also noch ein Sperrad (Klinkenrad), das eine Bewegung entgegen der Kraft der Feder (d.h. das Aufziehen) erlaubt, aber nach dem Aufziehen die Achse des Federhauses gegen das Werkgestell abstützt. Das Klinkenrad ist also durch einen Vierkant kraftschlüssig mit der Achse verbunden, während die Klinke am Werkgestell befestigt ist.
Bei der offenen Feder erfolgt An- und Abtrieb der Feder am inneren Ende der Feder. Das äussere Ende der Feder ist am Werksgestell einghängt, und ist damit fest. Das erste Zahnrad der Uhr, das von der Feder angetrieben wird besteht damit aus zwei Teilen: dem eigentlichen Zahnrad und dem Klinkenrad, an dem die Feder befestigt ist. Beim Aufziehen wird das Klinkenrad bewegt, während das Zahnrad in diesem Moment von der Kraft der Feder befreit ist. Die Unterbrechung des Antriebes während des Aufzugs lässt sich leicht feststellen: wenn man an einem gewöhnlichen Wecker leicht am Aufzugsschlüssel dreht, wird das Ticken langsam leiser, nach einigen Sekunden hört es ganz auf. Bei einer Armbanduhr wird die Uhr immer weiterlaufen.
Vorteil des Federantriebes gegenüber dem Gewichtsantrieb ist die Möglichkeit kleine und tragbare Uhren zu bauen, da ein Gewichtsantrieb eine Bewegung der Uhr natürlich nicht zulässt. Das häufigste und einfachste System zur Verbesserung der Konstanz des Federantriebes ist die Beschneidung der Gangdauer. Ein anderer Effekt in diesem Zusammenhang ist, dass Zugfedern, die völlig aufgezogen sind, für kurze Zeit eine sehr hohe Kraft liefern (abweichend vom linearen Zusammenhang). Dieser Bereich kann durch eine Stellung abgeschnitten werden. Diese Stellung wird bei Armband- und Taschenuhren fast immer verwendet. Erkennbar ist diese daran, dass sich die Aufzugswelle beim Loslassen ein wenig zurückdreht.
Um den Federantrieb aufzuziehen gibt es zwei Möglichkeiten: Bei Taschen- und Armbanduhren wird normalerweise der Aufzug über die Krone verwendet. Diese Krone erlaubt im allgemeinen durch Herausziehen auch noch das Stellen der Uhr, evtl. auch des Datums.
Beim Federantrieb gibt es noch zwei Sonderformen des Antriebs, die ein Aufziehen der Uhr überflüssig machen: Sehr weit verbreitet ist der automatische Aufzug bei Armbanduhren. Dabei wird die Bewegung der Uhr am Handgelenk des Trägers ausgenutzt. Ein kleines Massestück, das exzentrisch auf einer Achse gelagert ist, versucht ständig 'nach unten zu hängen'. Diese Bewegung zieht über ein Getriebe die Zugfeder auf.


Der Schwinger 
Es wurde bereits erwähnt, dass zur Zeitmessung in Uhren Schwinger (im physikalischen Sinne) verwendet werden. Die ersten von der Sonne unabhängigen Zeitmessgeräte, die sogenannten Elementaruhren (Kerzenuhren, Wasseruhren) verwendeten eine analoge Grösse als Zeitnormal. Ähnlich entstanden wohl die ersten Räderuhren aus dem Versuch heraus, den gebremsten (gehemmten, deswegen Hemmung) Ablauf eines Räderwerkes als Uhr zu verwenden. Ein solches System ist aber in seiner Geschwindigkeit direkt von der Antriebskraft abhängig, die für Zeitmesszwecke nie genau genug geregelt werden kann. Deswegen wird in jeder Uhr ein Schwingkreis als Zeitnormal verwendet, dessen Frequenz in erster Näherung von der Antriebskraft unabhängig ist. Ein Schwingkreis zeichnet sich dadurch aus, dass eine Energieform in eine andere übergeführt wird (z.B. kinetische in potentielle Energie beim Pendel oder elektrische Energie in mechanische Energie beim Quarz). Leider ist in der Praxis die Frequenz nicht ganz unabhängig von der Amplitude. Dies ist z.B. bei Federschwingern durch die nicht absolut lineare Abhängigkeit von Kraft und Weg bedingt. Diese Effekte werden im ersten Moment klein erscheinen, man darf dabei aber nicht vergessen, dass ein Fehler von 1% bei einer Uhr schon einer täglichen Abweichung von einer Viertelstunde entspricht.
Ein weiterer grosser Störfaktor bei mechanischen Uhren ist die Tatsache, dass der Schwinger nicht ungestört schwingen kann, sondern durch die Hemmung angetrieben werden muss. Dies führt ebenfalls zu Fehlern in der Zeitmessung.

Einige Störeinflüsse
Federgetriebene Uhren und auch die Unruh waren zu ungenau. Sie waren gegen Erschütterungen einfach zu empfindlich. Auch bei Unruhuhren ist der Störeinfluss von Temperaturänderungen sehr gross. Eine Methode zur Kompensation dieser Einflüsse ist die Verwendung eines Bimetallunruhreifes. Der Einfluss von Temperaturänderungen bei Unruhuhren ist wesentlich komplizierter als bei Pendeluhren. Insgesamt werden drei Grössen beeinflusst:
  • die Länge der Spiralfeder und damit auch ihre Federeigenschaften
  • der Durchmesser der Unruh und damit ihr Massenträgheitsmoment 
  • das Elastizitätsmodul der Spiralfeder
Alle drei Punkte bewirken ein Nachgehen der Uhr bei Erwärmung. Zum letzten Punkt ist zu sagen, dass es eine Eigenschaft der meisten Materialien ist, bei Erwärmung nachgiebiger zu werden. Dieser Einfluss ist so gering, dass er in der gewöhnlichen Technik bei Temperaturen um die Raumtemperatur vernachlässigt werden kann. Bei den Genauigkeiten, die von einer Uhr gefordert werden, ist dieser Einfluss sehr wesentlich. Der durch die Temperaturabhängigkeit des Elastizitätsmoduls verursachte Fehler liegt bei 30sec/Tag bei einem Grad Temperaturänderung.
Zur Beseitigung bzw. Verringerung des Temperaturfehlers gibt es drei Methoden:

  • Beeinflussung der Spiralfederlänge
  • Beeinflussung des Massenträgheitsmomentes der Unruh
  • Veränderung der Materialeigenschaften der Spiralfeder
Die zuerst genannte Methode wurde bei den ersten Uhren mit Temperaturkompensation (um 1700) verwendet. Dabei wird der Rücker auf einen Bimetallstreifen gesetzt, der die Länge der Spiralfeder beeinflusst. Für Präzisionsuhren ist diese Methode weniger geeignet, da jede Veränderung der Spiralfederlänge zu einer Beeinträchtigung des Isochronismus führt. Ein anderer Weg ist die Beeinflussung des Massenträgheitsmomentes der Unruh durch Verwendung einer Bimetallunruh. Der Unruhreif besteht aus zwei fest miteinander verbundenen konzentrischen Ringen, der innere Ring ist aus Stahl, der äussere aus Messing. Der Unruhreif wird ferner an zwei Stellen in der Nähe der Speichen aufgeschnitten. Wird der Reif erwärmt, dehnt sich das Messing stärker aus als der Stahl, so dass sich der aufgeschnittene Teil der Unruh nach innen krümmt, was ein geringeres Massenträgheitsmoment und damit eine höhere Schwingfrequenz ergibt, was die geringere Steifigkeit der Feder wieder ausgleicht. Nachteil an diesem System ist erstens, dass eine korrekte Justage des gesamten Systems sehr aufwendig ist. Zweitens ist der aufgeschnittene Unruhreif relativ instabil und kann sich mit der Zeit verformen, was in hohem Masse die Zeitmessung beeinflusst. Drittens beseitigt diese Massnahme nicht den sogenannten sekundären Fehler, d.h wenn die Uhr bei 0 Grad und 20 Grad temperaturkompensiert ist, ist sie dies noch lange nicht bei 15 Grad.
Seit den dreissiger Jahren des 20. Jhdts. wird i. A. die Nivarox-Spirale verwendet (natürlich nur wenn die Uhr temperaturkompensiert ist). Dieses spezielle nickelhaltige Material weist eine sehr geringe Aenderung des Elastizitätsmoduls in Abhängigkeit von der Temperatur auf, ferner lässt sich diese Abhängigkeit so regulieren, dass die Fehler, die durch Ausdehnung der Unruh entstehen, mitkompensiert werden. Da dieses Mittel recht einfach und relativ preiswert ist, hat es sich mittlerweile fast vollständig durchgesetzt.
Eine nicht ausgewuchtete Unruh verusacht den sogenannten Lagefehler, d.h. Abweichungen bei der Zeitmessung abhängig von der Lage der Uhr.
Ein zweites System zum automatischen Aufzug von Grossuhren verwendet die Atmos von LeCoultre. Hierbei werden Temperaturschwankungen, die es in jedem Raum gibt, zum Antrieb der Uhr genutzt. Da die dabei entstehenden Energien aber ungeheuer gering sind, muss ein spezielles Schwingsystem (Torsionspendel) verwendet werden.

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Translation in English:
About the operation of a mechanical clock
The essential parts of a clock are in a small case and on its outside, there is the dial. Through the center of the extended axis, there is the minute wheel, and on its end there is the minute hand, which moves in one hour once around the dial. At the same axis is still the minute transmission, which is moved by the gear for the display of hours, which rotates once in twelve hours. The minute wheel is rotated by a transmission from one gear, which is set in motion by a spring. It is important that the minute wheel slowed down in its movement. The number of rotations is taking place according to the desired time. Thus, the slowness of the minute wheel by inhibiting the movement is made of a gear. The device, which causes this inhibition is called the balance wheel. The balance wheel works in principle like a pendulum. But instead of a pendulum, a coil spring is used. The coil spring is connected to the metal hoops on its axis. Coiled spring, of course, wants to unfold again. While they were unfurled, rotates with the metal tire. But at some point, the spring has not enough power to a driving force for the metal tire. The metall tire is now swinging back and rolls his coil spring again. At a certain point, the spring can no longer be rolled up and unrolled the coil spring up again. If the metal tire is now swinging back and forth, it raises again and again the anchor and the clock keeps running. If the anchor dissolves or reaches back into gear and stop the gear and then released again, one hears the clock ticking.

Dienstag, 9. Februar 2010

Wurzelziehen / Dragging the square root

Irgendwann war in der Schulischen Sozialisation das Wurzelziehen dran und es war schwierig zu vermitteln, warum man schriftlich - radizieren - oder auf deutsch wurzelziehen soll, wenn der Taschenrechner oder früher der Rechenschieber dies doch so vortrefflich und bequem besser kann. Trotzdem hat es geärgert, dass der Algorithmus des Wurzelziehens nie kapiert wurde und daher heute der Versuch diese Wissenslücke nachzuholen.

Alllsooo - die Umkehrung des Quadrierens ist das Wurzelziehen.

Beim Wurzelziehen ist also eine Zahl zu suchen, welche durch Vervielfachung - Multiplikation - mit sich selbst die Zahl unter der Wurzel ergibt:
Wichtig ist ein gewisser Überblick über den Aufbau der Zahlen per Dezimalsystem und seiner Kombination von Ziffern und Zehnerpotenzen. Dabei gilt der Lehrsatz:
  • Eine 1ziffrige Zahl zum Quadrat gibt höchstens eine 2ziffrige Zahl.
  • Eine 2ziffrige Zahl zum Quadrat gibt höchstens eine 4ziffrige Zahl.
  • Eine 3ziffrige Zahl zum Quadrat gibt höchstens eine 6ziffrige Zahl. 
Umgekehrt: Soviele Gruppen von 2 Ziffern unter der Wurzel stehen, soviel Ziffern hat die gesuchte Zahl. Nunmehr geht es darum, einen Algorithmus zu finden, mit dem man die Wurzel einer Zahl bestimmen kann.

Einen guten Überblick bekommt man über das Rechenverfahren, wenn man die Erste Binomische Formel:
(a+b)²=(a²+2ab+b²),
aus (a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ba+b²=(a²+2ab+b²)
anwendet. Man hat als Beispiel sqrt((a+b)²)=a+b,
z.B. sqrt((10+2)²)=10+2.
Man versucht jetzt während des Rechenganges über die ausgerechnete Summe des Binoms (a²+2ab+b²) die beiden Stellen der gesuchten Wurzel a und b zu bestimmen, d.h. im Beispiel wäre die Zahl 144 als Summe (a²+2ab+b²) zu schreiben. Da es sich bei 144 um zwei Gruppen 1|44 handelt, steckt auf jeden Fall die Quadratzahl 100 als a² in dieser Summe, so dass a=10. Die Kenntnis des Einmaleins sollte vorausgesetzt werden. Nunmehr kann geschrieben werden:
10²+2*10*b+b²
Also ist 2*10*b+b=44
Etwas Probieren und Überblicken muss sein, d.h. b=3 würde nicht gehen und man nimmt die nächste Zahl für b, die für 44 passend ist. Also wäre b=2 die nächste Möglichkeit. Also (10²+2*10*2+2²), d.h. sqrt(144)=12

Nunmehr der Algorithmus des schriftlichen Wurzelziehens (Radizierens) im Einzelnen, wobei zwischen Ziffer, hier A, B, und Zehnerzahl des Dezimalsystems, hier a, b, zu unterscheiden wäre, d.h. A*10^1+B*10^0, wobei als Zehnerzahlen dann a=A*10^1 und b=B*10^0 geschrieben werden könnte.
sqrt(144)=?
Aufteilung in Zweiergruppen von rechts nach links:
sqrt(1|44)=?
Bestimmung der ersten Ziffer von a, d.h. Bestimmung von A:
Man zieht aus der ersten Gruppe von links die Wurzel
Wurzel aus 1 ist 1, d.h. A=1 und subtrahiert.
Nunmehr wird die erste Ziffer der zweiten Gruppe von links herunter gezogen. Man rechnet nur mit den Ziffern 2*A*B=4, wobei A=1, somit 2*1*B=4 und damit B=2.
Dann wird die zweite Ziffer der zweiten Zahlengruppe herunter gezogen und geprüft, ob sie mit B² übereinstimmt. Es ist A=1 und B=2 also a=10 und b=2, somit 1*10^1+2*10^0=12
sqrt(144)=12.
Die Vermittlung zwischen Verständnis und Algorithmus ließen leider keinen schnellen Könisgweg der Erklärung zu.

Weitere Beispiele:




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Translation in English:
Dragging the square root  
The algorithm of the written dragging the square root based on the binomial formula: 
(a + b) ² = (a ² +2 ab + b ²)