Willkommen auf meinem Weblog / Welcome to my blog

Es startet die Entdeckungstour auf verschlungenen Pfaden zu unentdeckten physikalischen Forschungen und Themen, die sich ergebnislos im Gespräch befanden und deren Rätsel durch dieses Blog kaum gelöst, aber zumindest gemeinsam etwas bedacht und besprochen werden können. Was sonst noch als bedeutsam im Leben oder der Umgebung wahrgenommen wird, landet hier auch. Der Leser kann selber problemlos kommentieren - was als Feedback und Ergänzung der Artikel wünschenswert wäre.
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A short translation of the article in English You find at the end of the blog.

Donnerstag, 24. April 2014

Methode zum Nachweis des Wertes der Schallgeschwindigkeit per Rechnung

Das Finden einer passenden Modellvorstellung zur Erklärung unterschiedlicher physikalischer Phänomene mit Hilfe einer universalen Ursache ist das eine Ding – der Nachweis der Richtigkeit solcher Ansichten ein anderes. An dieser Stelle soll zumindest ein Weg skizziert werden, mit dessen Hilfe es möglich wäre, rechnerisch zu bestimmen, wie schnell eine Schallwelle durch eine Kette elastischer Teilchen läuft. Bei der Erzeugung und Übertragung von Schall in Luft, d.h. in Gasen oder anderen Fluiden, sowie bei der Erzeugung und Übertragung von Licht durch ein Medium, welches teilweise als Äther bezeichnet wird, kann von einem einfachen mechanischen Modell ausgegangen werden, d.h. es sollen Masseteilchen vorhanden sein, die elastisch miteinander verbunden sind. Ziel wäre es, den Bewegungsvorgang einer Auslenkung per Membran an einem einfachen Beispiel rechnerisch zu betrachten. Eine auslenkende Apparatur oder auch Membran übt Kraft auf ein elastisches Gasvolumen aus. Es soll der Bewegungsvorgang einer elastisch gelagerten Masse, die durch eine Membran ausgelenkt wird, durchgerechnet werden. Masse-Feder-Modell als Darstellung eines Luftvolumens Es ist bekannt, dass sich ein Gaskörper, z.B. ein Luftvolumen, elastisch verhält und damit komprimierbar ist. Zum anderen besitzen Gasmoleküle ein Gewicht, d.h. sie haben eine bestimmte Masse. Somit wäre die Vermutung begründet, dass die Geschwindigkeit der Ausbreitung einer Schallwelle etwas mit den Eigenschaften Elastizität und Masse zu tun hätte. Um eine rechnerische Handhabung zu ermöglichen, wird ein Luftvolumen mit der Länge l und der Masse m in ein Modell aus Druckfeder und Masse überführt.

Wird eine Membran ausgelenkt und übt somit auf die Druckfeder, welche ein komprimierbares Gasvolumen darstellen soll, Kraft aus, so wird die Druckfeder (das Gasvolumen) kontrahiert (zusammengepresst), da die Masse aufgrund der Massenträgheit verharrt. Die komprimierte Feder (zusammengepresstes Gasvolumen) erzeugt allerdings auch eine Kraftwirkung auf die Masse des Gasvolumens, so dass diese beschleunigt wird und somit einen bestimmten Weg pro Zeit zurück legt. Ziel sei es, rechenbar zu machen, wieviel Zeit t vergeht, bis die Länge l des Gasvolumens durchschritten worden ist, d.h. so wird rechenbar, wielange ein Impuls benötigt, durch dieses Gasvolumen zu laufen und mit welcher Geschwindigkeit

 v = \frac {l}{t}


dies geschieht. Der Begriff Federkonstante mit dem Formelbuchstaben D und der Einheit

\frac {N}{m}

ist gut eingeführt, um den Zusammenhang zwischen einer Kraft F und der Längenänderung der Feder \Delta l herzustellen. Die Formel lautet:



F = D \cdot \Delta l

Allerdings muß die Federkonstante für ein Gasvolumen erst hergeleitet werden, was im Beitrag Federkonstante Luft vorgeführt wird. An dieser Stelle sei nur die Formel der Federkonstante eines Gasvolumens notiert:



D =\frac {A^2 \cdot \kappa \cdot p}{V}= \frac {A \cdot \kappa \cdot p}{l}


mit:

A ist Fläche in m²

\kappa ist Adiabatenkoeffizient, wobei 

\kappa_{luft} = 1,402


 p ist Luftdruck in \frac {N}{m^2}  wobei





p_{luft}=101325 \frac {N}{m^2}


V ist Volumen in m³

l ist Länge des Gaskörpers in m


Ausgangspunkt für einen mathematischen Ansatz ist die Überlegung, dass die Spannkraft F_spann jeweils genauso groß sein muß wie die Traegheitskraft F_traeg des Luftvolumens, wobei:


F_{spann} = D \cdot \Delta l = \frac {A \cdot \kappa \cdot p \cdot \Delta l}{l}

 und

F_{traeg} = m \cdot a

 mit:

a ist Beschleunigung in m/s²

wobei:

\Delta l_{2} = \frac {a}{2 \cdot t^2}

somit:

 a = \frac {2 \cdot \Delta l_{2}}{t^2}

und

m ist Masse in kg, wobei:




m = V \cdot \rho = A \cdot l \cdot \rho


mit:

\rho  ist Dichte in kg/m³.


Die Dichte der Luft beträgt:
\rho_{luft} = 1,293 \frac {kg}{m^3}


So ergibt sich die Gleichsetzung:


 F_{spann} = F_{traeg}

  also:

 \frac {A \cdot \kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}}{l} = m \cdot a

 Mit Einsetzung:

a = \frac {2 \cdot \Delta l_{2}}{t^2}



 gilt:

\frac {A \cdot \kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}}{l} = \frac {m \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{t^2}

 Und Einsetzung:


m = A \cdot l \cdot \rho

gilt:

\frac {A \cdot \kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}}{l} = \frac {A \cdot l \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{t^2}

umgeformt:


\frac {\kappa \cdot p}{\rho} \cdot \frac {\Delta l_{1}}{2 \cdot \Delta l_{2}} = \frac {l^2}{t^2}

Wurzel:


\sqrt(\frac {\kappa \cdot p}{\rho}) \cdot \sqrt(\frac {\Delta l_{1}}{2 \cdot \Delta l_{2}}) = \frac {l}{t}

Es stellt sich die Frage, wann der Zustand am Anfang des Luftvolumens am Ende ankommt?Nach dem Motto "Wir sind auf dem Wege" soll angenommen werden, dass die Schallwelle den Gaskörper durchlaufen hat, wenn das Ende des Luftvolumens um \Delta l_{2}  verschoben worden ist - und es soll gelten:

\Delta l_{2} = 0,5 \cdot \Delta l_{1}

Unter diesen Prämissen hätte man dann:

\sqrt(\frac {\kappa \cdot p}{\rho}) \cdot \sqrt(\frac {\Delta l_{1}}{2 \cdot 0,5 \cdot \Delta l_{1}}) = \frac {l}{t}


\sqrt(\frac {\kappa \cdot p}{\rho}) \cdot \sqrt(\frac {\Delta l_{1}}{\Delta l_{1}}) = \frac {l}{t}

\frac {l}{t} = \sqrt(\frac {\kappa \cdot p}{\rho})

Setzt man die Zahlenwerte ein:


\frac {l}{t} = \sqrt(\frac {1,402 \cdot 101325}{1,293}) = \sqrt(109866,7) = 331,46 \frac {m}{s}


Dies ist ungefähr der bekannte Zahlenwert für die Schallgeschwindigkeit in Luft.