Unendliche Zahlenmengen / Infinite sets of numbers

Einführung
Man frage sich einmal, bis zu welcher Natürlichen Zahl man zählen könne - geschätzt wäre es für einen Menschen eventuell möglich bei ununterbrochenem Zählen bis 500000 zu kommen. Wenn solcher Zählwettbewerb alle Vierteljahr wiederholt wird, dann werden es andere Zahlen sein, bis zu denen man maximal zählend kommt. Wobei ein Weiterzählen nach einer solchen Zählgrenze dann diffuse Zahlen bringen würde, das sich bis zur Unentzifferbarkeit der sprachlichen Äußerungen verlängert. Diesen Vorgang des Zählens eines Individuums könnte man auf die Frage übertragen, ob es unendliche Zahlenmengen überhaupt geben könne - was ja behauptet wird. Man könnte sich jetzt eine Zahl vorstellen, deren Ziffern sich quer durch den gesamten Weltraum aufreihen würden.

Rechnen mit unendlich großen Zahlenmengen

Man lernt und erinnert sich, dass eine unendlich große Zahlenmenge wiederum größer als eine andere unendlich große Zahlenmenge sein kann, z.B. soll gelten, dass die Mächtigkeit von IR (Reelle Zahlen) größer sein soll als die Mächtigkeit von IN (Natürliche Zahlen). Für solche unendlich großen Anzahlen hat sich eine Ordnung mit Hilfe des Zeichens Aleph eingebürgert, wobei Aleph_0 dann eine kleinere unendliche Mächtigkeit ist als Aleph_1. Dies entspräche auch einer gewissen Logik, dass eine unendlich große Zahlenmenge IN dann wiederum kleiner wäre als eine unendlich große Zahlenmenge IR, die zwischen jeder Natürlichen Zahl wiederum unendlich viele Reelle Zahlen anordnet, die wiederum unendlich groß sind. Dies waren eigentlich nur einführende Überlegungen für die eigenen Studien. Konkret wird es dann bei der mathematischen Modellierung von Punkt und Gerade. Um eine Vermittlung zwischen abstrakter reiner Mathmatik und Geometrie einerseits und konkreter physikalischer Umwelt andrerseits zu schaffen, war einmal angenommen worden, dass ein Punkt unendlich klein sein soll, d.h. kleiner als ein Atom, Elektron oder sonstiges Nukleon. Dann könnte man sich wiederum vorstellen, dass sich eine Strecke von 10 cm aus unendlich vielen unendlich kleinen Punkten zusammen setzt. Somit hätte man dann wiederum eine Bestätigung der Ordnungsrelation mit Hilfe des Aleph-Begriffes, d.h. man könnte sich vorstellen, dass die unendliche Anzahl der Punkte einer 10 cm langen Strecke kleiner wäre als die einer 20 cm langen Strecke und könnte die Anzahl der Punkte der 10cm-Strecke als Aleph_0 bezeichnen und die Anzahl der Punkte der 20cm-Strecke als Aleph_1. Ein bisher noch nicht richtig gelöstes Problem scheint es mit der Annahme zu geben, dass prinzipiell die Möglichkeit unendlich große Zahlen zu speichern und zu berechnen begrenzt ist. Dieser Sachverhalt war bereits beschrieben worden: Die Zahldarstellung per Zählung, Rechnung und Speicherung von Zahlen ist beim menschlichen Subjekt begrenzt. Ebensolche Grenzen könnten für jedes Rechenzentrum definiert werden, selbst dann, wenn man von jahrhundertelangen Rechenvorgängen ausgehen würde. Insofern käme man auf die Idee, dass unendlich mächtige Zahlenmengen prinzipiell nicht darstellbar, rechenbar und speicherbar wären und dass es - wie gesagt - in einem Grenzbereich zu diffusen Darstellungen von Zahlen käme. Wenn dann meistens zwischen Mengen mit ihren - gegenständlichen - Elementen und den Zahlen die Beziehung bestand, dass man die Anzahlen der Gegenstände (Elemente) auf die Natürlichen Zahlen abbildete und somit abstrahierte, würde man nun beim Umgang mit unendlich großen Zahlen umgekehrt vorgehen müssen, dass unendlich große Zahlen auf vorgestellte Strecken oder Volumina gegenständlich abgebildet werden sollten, so dass man sagen könnte, dass die Mächtigkeit der Menge der Natürlichen Zahlen auf eine 10 cm lange Strecke und die Mächtigkeit der Reellen Zahlen auf die Anzahl der Punkte einer 100 cm langen Strecke abgebildet wird. Nun - diese Überlegungen werden sicherlich noch fortgesetzt, zumindest soll die prinzipielle Berechenbarkeit von Unendlichkeiten mit Hilfe von Zahlen etwas hinterfragt und auf mögliche Lösungen hingewiesen werden.

Lücken auf dem Zahlenstrahl von IR?
Wenn man die Aussage überprüft, dass zwischen zwei Zahlen auf einem Zahlenstrahl mit Reellen Zahlen IR wiederum eine weitere Zahl sich befinden sollte, dann käme man bei dieser Annahme darauf, dass die Anzahl der Dezimalstellen prinzipiell begrenzt wären oder es dann einen diffusen Bereich von unsicherer Zahldarstellungen gäbe, so dass Lücken auf dem Zahlenstrahl von IR vorhanden wären.


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Translation in English:
Infinite sets of numbers
Up to what number somebody could count the natural numbers. Estimated it would be possible for someone to come by continuous counting on to 500000. If such competition is repeated every three months, then there will be other numbers, up to a maximum of whom one is counting. With continue counting after that limit of counting, you can listen that the person whispers diffuse figures. This process of counting by an individual person could be transferred to the question of whether there could be exist infinite sets of numbers at all. One could now imagine a number whose figures would across the entire space. One learns and remembers that an infinite set of numbers in turn is greater than another infinite set of numbers can be. For example, IR (real numbers) should be greater than IN (Natural numbers). Are there gaps on the number line of IR? If one examines the claim that between two numbers on a number line with real numbers IR again another number should be located, then you come to the assumption that the number of decimal places would be limited in principle or it would then be a diffuse area of uncertain number representations, the fact that gaps exist on the number line of IR would be.