Dimension / English: Dimension

Einführung Dimensionen
Als Dimension, welches lateinisch "Ausdehnung" oder "Ausmaß" bedeutet, bezeichnet man im gewöhnlichen Raum die drei Maße Länge, Breite, Höhe zur Beschreibung der Ausdehnung von Körpern. Ein Punkt hat keine, eine Linie eine Dimension, ein flächenhaftes Gebilde zwei, ein räumliches Gebilde drei Dimensionen. Die Anzahl der Dimensionen eines Gebildes entspricht der Anzahl der zur Festlegung eines seiner Punkte notwendigen Koordinaten. Im zweidimensionalen Koordinatensystem werden Punkte durch Wertepaare, z.B. P(a,b) bezeichnet. In der höheren Mathematik gibt es auch n-dimensionale Räume. Die bekanntesten Darstellungen des Begriffes Dimension findet man in der anschaulichen Euklidschen Geometrie. Zunächst bezeichnet der Begriff Euklidischer Raum den "Raum unserer Anschauung" wie er in Euklids Werk "Die Elemente" durch Axiome und Postulate beschrieben wird. Über das Leben des griechischen Mathematikers Euklid ist wenig bekannt. Man nimmt an, dass er um das Jahr 360 v. Chr. vermutlich in Athen geboren wurde und dort seine Ausbildung an Platons Akademie erhielt. Höchstwahrscheinlich hat er während der Regierungszeit von Ptolemaios I. in Alexandria gelebt und dort Mathematik gelehrt. Berühmt wurde Euklid durch 13 Lehrbücher, in denen er das damalige Wissen zur Mathematik zusammengefasst hat. "Die Elemente", wie diese Bücher genannt werden, sind die erfolgreichsten Mathematikbücher aller Zeiten. So wurden Übersetzungen dieser Bücher z. B. in England noch im 19. Jahrhundert als offizielle Schulbücher für die Geometrie benutzt. Über Euklid erzählt man sich viele Anekdoten: Ein Schüler fragte, als er den ersten Satz gelernt hatte: "Was kann ich verdienen, wenn ich diese Dinge lerne?" Da rief Euklid seinen Sklaven und sagte: "Gib ihm drei Obolen, denn der arme Mann muss Geld verdienen mit dem, was er lernt." Pharao Ptolemaios fragte einmal Euklid, ob es nicht für die Geometrie einen kürzeren Weg gebe, als die Lehre der Elemente. Er aber besaß den Mut zu antworten, dass es zur Geometrie keinen Königsweg gebe. Auch ein König muss sich wie jeder andere Mensch "auf den Hosenboden setzen", wenn er die Mathematik verstehen will. Als analytische Geometrie lässt sich die euklidische Geometrie ohne weiteres für eine beliebige (auch unendliche) Anzahl von Dimensionen verallgemeinern. Zu den Geraden und Ebenen treten dann höherdimensionale Punktmengen, die als Hyperebenen oder Hyperräume bezeichnet werden. Die Zahl der Dimensionen ist dabei nicht beschränkt und muss auch nicht endlich sein. Zu jeder Kardinalzahl lässt sich ein euklidischer Raum dieser Dimension definieren. Räume mit mehr als drei Dimensionen sind für unser Vorstellungsvermögen gewöhnungsbedürftig.

Konstruktion der nächsthöheren Dimension
In der Geometrie kann die nächsthöhere Dimension jeweils konstruiert werden. Die Konstruktionsvorschrift besagt, dass außerhalb einer Figur ein Punkt gezeichnet wird und dass danach alle Eckpunkte der geometrischen Figur mit diesem Punkt verbunden werden. Somit kommt man vom Punkt als Nullter Dimension, zur Geraden als Erster Dimension, zur Fläche als Zweiter Dimension, zum Raum als Dritter Dimension und sogar zum Hyperraum als Vierter Dimension. Mit dieser Methode kann der Dimensionsbegriff veranschaulicht werden, so wie man es vom Mathematiker Euklid gewohnt ist. Aus der Konstruktionsweise und den sich ergebenden geometrischen Figuren können einige Eigenschaften der neu konstruierten Gebilde erkannt werden. Jede höhere Dimension entsteht aus einer großen Anzahl - fast unendlichen Zahl - von Gebilden der niedrigeren Dimension. Die Gerade bildet sich so aus einer Vielzahl von Punkten und wird an ihren Enden durch Punkte begrenzt. Die Fläche wiederum entsteht aus einer Vielzahl nebeneinander gelegten Geraden und wird durch Geraden begrenzt. Der Raum stellt sich als eine Aufstapelung von Flächen dar und wird von Flächen als Seiten begrenzt. Diese Konstruktionsvorschrift mit ihren abgeleiteten Eigenschaften kann nunmehr auch für die anschauliche Darstellung des vierdimensionalen Hyperraums Verwendung finden. Man zeichnet einen Punkt weit außerhalb eines geometrischen Körpers oder Raumes, verbindet diesen Punkt mit allen Eckpunkten des Körpers und es entsteht ein Gebilde, welches sich aus einer fast unendlichen Anzahl aufeinander gestapelter dreidimensionaler geometrischer Körper ergibt, wobei die Begrenzungsflächen wiederum ineinandergeschachtelte Räume sind.

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Translation in English:
Dimension
As a dimension, which in Latin means "expansion" or "extent", is known in ordinary space, the three dimensions length, width, height to describe the expansion of bodies. A point has no dimension. A line of one dimension. A planar structure has two dimensions. A three-dimensional structure three dimensions. The number of dimensions of a structure equals the number of points necessary for the establishment of one of its coordinates. In the two-dimensional coordinate points by pairs of values, for example, are P (a, b), designated. In higher mathematics, there are also n-dimensional spaces. The best known representations of the concept of dimension is found in the intuitive Euclidean geometry. Among the higher-dimensional point sets, lines and planes to enter the called hyper space. Spaces with more than three dimensions are difficulty for our imagination. We are able to build (n+1)-dimension, by using n-dimension. The rule of construction is, that a point is drawn outside of a figure and that thereafter all points of the geometric figure to be associated with this point. Thus, to get from point, we get the 0-dimension. To the line as the first dimension. To the planare structure as a second dimension. To the area as a third dimensio. And even to hyperspace as the fourth dimension. With this method, the term dimension can be illustrated, as we saw by the mathematician Euclid as usual. From the construction methods and the resulting geometric figures some properties of the newly constructed structures can be detected. Each higher dimension arises from a large number - almost infinite number - of structures of lower dimension. The line is thus formed from a variety of points and is bounded at its ends by dots. The planare structure arises from a variety of lines, which laid side by side and is bounded by straight lines. The space presents itself as a stacking of planare structures and is bordered by planare structures as sides. This design requirement and its derived properties can now be found also for the graphic representation of the four-dimensional hyper-space use. It draws a point far outside the body or a geometric space that connects this point with all the corners of the body and creates a structure which is apparent from an almost infinite number of successive stacked three-dimensional geometric body, with the boundary surfaces in turn are nested spaces.