Dimension / English: Dimension

Einführung Dimensionen
Als Dimension, welches lateinisch "Ausdehnung" oder "Ausmaß" bedeutet, bezeichnet man im gewöhnlichen Raum die drei Maße Länge, Breite, Höhe zur Beschreibung der Ausdehnung von Körpern. Ein Punkt hat keine, eine Linie eine Dimension, ein flächenhaftes Gebilde zwei, ein räumliches Gebilde drei Dimensionen. Die Anzahl der Dimensionen eines Gebildes entspricht der Anzahl der zur Festlegung eines seiner Punkte notwendigen Koordinaten. Im zweidimensionalen Koordinatensystem werden Punkte durch Wertepaare, z.B. P(a,b) bezeichnet. In der höheren Mathematik gibt es auch n-dimensionale Räume. Die bekanntesten Darstellungen des Begriffes Dimension findet man in der anschaulichen Euklidschen Geometrie. Zunächst bezeichnet der Begriff Euklidischer Raum den "Raum unserer Anschauung" wie er in Euklids Werk "Die Elemente" durch Axiome und Postulate beschrieben wird. Über das Leben des griechischen Mathematikers Euklid ist wenig bekannt. Man nimmt an, dass er um das Jahr 360 v. Chr. vermutlich in Athen geboren wurde und dort seine Ausbildung an Platons Akademie erhielt. Höchstwahrscheinlich hat er während der Regierungszeit von Ptolemaios I. in Alexandria gelebt und dort Mathematik gelehrt. Berühmt wurde Euklid durch 13 Lehrbücher, in denen er das damalige Wissen zur Mathematik zusammengefasst hat. "Die Elemente", wie diese Bücher genannt werden, sind die erfolgreichsten Mathematikbücher aller Zeiten. So wurden Übersetzungen dieser Bücher z. B. in England noch im 19. Jahrhundert als offizielle Schulbücher für die Geometrie benutzt. Über Euklid erzählt man sich viele Anekdoten: Ein Schüler fragte, als er den ersten Satz gelernt hatte: "Was kann ich verdienen, wenn ich diese Dinge lerne?" Da rief Euklid seinen Sklaven und sagte: "Gib ihm drei Obolen, denn der arme Mann muss Geld verdienen mit dem, was er lernt." Pharao Ptolemaios fragte einmal Euklid, ob es nicht für die Geometrie einen kürzeren Weg gebe, als die Lehre der Elemente. Er aber besaß den Mut zu antworten, dass es zur Geometrie keinen Königsweg gebe. Auch ein König muss sich wie jeder andere Mensch "auf den Hosenboden setzen", wenn er die Mathematik verstehen will. Als analytische Geometrie lässt sich die euklidische Geometrie ohne weiteres für eine beliebige (auch unendliche) Anzahl von Dimensionen verallgemeinern. Zu den Geraden und Ebenen treten dann höherdimensionale Punktmengen, die als Hyperebenen oder Hyperräume bezeichnet werden. Die Zahl der Dimensionen ist dabei nicht beschränkt und muss auch nicht endlich sein. Zu jeder Kardinalzahl lässt sich ein euklidischer Raum dieser Dimension definieren. Räume mit mehr als drei Dimensionen sind für unser Vorstellungsvermögen gewöhnungsbedürftig.

Konstruktion der nächsthöheren Dimension
In der Geometrie kann die nächsthöhere Dimension jeweils konstruiert werden. Die Konstruktionsvorschrift besagt, dass außerhalb einer Figur ein Punkt gezeichnet wird und dass danach alle Eckpunkte der geometrischen Figur mit diesem Punkt verbunden werden. Somit kommt man vom Punkt als Nullter Dimension, zur Geraden als Erster Dimension, zur Fläche als Zweiter Dimension, zum Raum als Dritter Dimension und sogar zum Hyperraum als Vierter Dimension. Mit dieser Methode kann der Dimensionsbegriff veranschaulicht werden, so wie man es vom Mathematiker Euklid gewohnt ist. Aus der Konstruktionsweise und den sich ergebenden geometrischen Figuren können einige Eigenschaften der neu konstruierten Gebilde erkannt werden. Jede höhere Dimension entsteht aus einer großen Anzahl - fast unendlichen Zahl - von Gebilden der niedrigeren Dimension. Die Gerade bildet sich so aus einer Vielzahl von Punkten und wird an ihren Enden durch Punkte begrenzt. Die Fläche wiederum entsteht aus einer Vielzahl nebeneinander gelegten Geraden und wird durch Geraden begrenzt. Der Raum stellt sich als eine Aufstapelung von Flächen dar und wird von Flächen als Seiten begrenzt. Diese Konstruktionsvorschrift mit ihren abgeleiteten Eigenschaften kann nunmehr auch für die anschauliche Darstellung des vierdimensionalen Hyperraums Verwendung finden. Man zeichnet einen Punkt weit außerhalb eines geometrischen Körpers oder Raumes, verbindet diesen Punkt mit allen Eckpunkten des Körpers und es entsteht ein Gebilde, welches sich aus einer fast unendlichen Anzahl aufeinander gestapelter dreidimensionaler geometrischer Körper ergibt, wobei die Begrenzungsflächen wiederum ineinandergeschachtelte Räume sind.

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Translation in English:
Dimension
As a dimension, which in Latin means "expansion" or "extent", is known in ordinary space, the three dimensions length, width, height to describe the expansion of bodies. A point has no dimension. A line of one dimension. A planar structure has two dimensions. A three-dimensional structure three dimensions. The number of dimensions of a structure equals the number of points necessary for the establishment of one of its coordinates. In the two-dimensional coordinate points by pairs of values, for example, are P (a, b), designated. In higher mathematics, there are also n-dimensional spaces. The best known representations of the concept of dimension is found in the intuitive Euclidean geometry. Among the higher-dimensional point sets, lines and planes to enter the called hyper space. Spaces with more than three dimensions are difficulty for our imagination. We are able to build (n+1)-dimension, by using n-dimension. The rule of construction is, that a point is drawn outside of a figure and that thereafter all points of the geometric figure to be associated with this point. Thus, to get from point, we get the 0-dimension. To the line as the first dimension. To the planare structure as a second dimension. To the area as a third dimensio. And even to hyperspace as the fourth dimension. With this method, the term dimension can be illustrated, as we saw by the mathematician Euclid as usual. From the construction methods and the resulting geometric figures some properties of the newly constructed structures can be detected. Each higher dimension arises from a large number - almost infinite number - of structures of lower dimension. The line is thus formed from a variety of points and is bounded at its ends by dots. The planare structure arises from a variety of lines, which laid side by side and is bounded by straight lines. The space presents itself as a stacking of planare structures and is bordered by planare structures as sides. This design requirement and its derived properties can now be found also for the graphic representation of the four-dimensional hyper-space use. It draws a point far outside the body or a geometric space that connects this point with all the corners of the body and creates a structure which is apparent from an almost infinite number of successive stacked three-dimensional geometric body, with the boundary surfaces in turn are nested spaces.

Spannungsimpuls

Während der Elektrische Strom mit Formelzeichen I auch populär gut bekannt und sein Zusammenhang mit Spannung und Widerstand aufgrund des Ohmschen Gesetzes gut rechenbar ist, wird das Thema Spannungsimpuls - obwohl in der heutigen Elektronik absolut wichtig - nach den eigenen Beobachtungen vernachlässigt. Nimmt man einen Stromkreis mit Spannungsquelle, doppelpoligem Ausschalter, Leitungen und Widerstand, so sind die Ladungen in der Spannungsquelle getrennt, so dass an einem Pol Elektronenüberschuss und am anderen Elektronenmangel herrschen, während die Leitungen hinter dem Schalter nach außen elektrisch neutral sind. Wird eingeschaltet, so bewegen sich in beiden Kabeln Spannungsimpulse mit ungefähr 0,7facher Lichtgeschwindigkeit. Der vom negativen Pol ausgehende Spannungsimpuls bewegt Elektronen von der Spannungsquelle in Richtung Widerstand und der vom positiven Pol ausgehende Spannungsimpuls bewegt positive Ladungen, was heißen soll, dass negative Ladungen oder Elektronen aus der Leitung in Richtung Spannungsquelle "abgesogen" werden. Der sich ausbreitende Spannungsimpuls stellt eine Änderung der Elektrischen Feldstärke E=F/q dar, so dass sich um den Leiter herum ein Magnetfeld auch dort bildet, wo noch keine Elektronen aus der Spannungsquelle nachgeflossen sind, d.h. die Leiter sind bereits dann durch Magnetfelder verbunden, wenn nur der Spannungsimpuls einen Leitungsabschnitt erreicht hat. Insofern ist es auch nicht verwunderlich, dass die Geschwindigkeit des Spannungsimpulses von der Kapazität und Induktivität des Kabels abhängt. Aus der Referierung und Entwicklung eines einfachen Modelles des Spannungsimpulses können allerdings interessante Fragestellungen und vielleicht sogar Einsichten abgeleitet werden. Stellt man sich ein solches Kabel unendlich lang vor, dann läuft auch der Spannungsimpuls immer weiter. Der Spannungsimpuls würde sich theoretisch unendlich weit und ewig ausbreiten, selbst wenn inzwischen die Batterie geleert worden ist. An dieser Stelle entsteht die Frage, ob Informationen bezüglich der Bedingungen und Verhältnisse am rückwärtigen Ende eines solchen Spannungsimpulses bis zur vorderen Impulsflanke durchkommen, d.h. den Impuls von hinten überholen können - dies ist populär nicht bekannt. Insofern sollte die Entleerung der Batterie keine Wirkung auf den Anfang des Spannungsimpulses haben. Selbstverständlich kann auch in einem einadrigen Kabel ein Spannungsimpuls sich ausbreiten, der somit vergleichbar wäre mit dem sich fortbewegenden Lichtsignal in einem Lichtleiter. Scherzhafte Leute meinen, dass man einen Lichtleiter, in welchem sich ein Lichtsignal ausbreitet, mit Anfang und Ende zusammen schließen könne, so dass dieses Lichtsignal auf ewig umlaufend wäre und Helligkeit spenden würde - nun andere glauben nicht daran und es käme auf einen Versuch an.  

Vergleich relativistisch und "äthertheoretisch"

Wenn ein Objekt mit konstanter Kraft F beschleunigt wird, dann ist zu beobachten, dass die Beschleunigung a mit zunehmender Geschwindigkeit v abnimmt. Der mathematische Sachverhalt wird nach der eigenen Kenntnis mit Hilfe zweier unterschiedlicher Modelle beschrieben, zum einen "äthertheoretisch" nach der Formel
a=(F-F_w)/m=F-1/2*rho*cW*A*v²)/m
und zum anderen nach der Formel für die relativistische Massenzunahme
a=F*sqrt(1-v²/c²)/m
die sich aus
m_rel=m/sqrt(1-v²/c²) und F=m_rel*a
ergibt. Es zeigt sich im untenstehenden Diagramm, dass sich ähnliche Kurvenverläufe ergeben:

Dichte des Vakuums

Welche Dichte rho = ? kg/m^3 hat der Weltraum? Bis vor einigen Jahrzehnten klang diese Frage unsinnig, weil man populär davon aus ging, dass es selbstverständlich die Dichte 0 wäre, da Gase wie Sauerstoff oder Stickstoff und Kohlendioxyd nur in der Nähe von Himmelskörpern zu finden sind und der Space luftleer und damit ein Vakuum sei. Allerdings kann heutzutage davon ausgegangen werden, dass er mit Partikeln gefuellt sei, die z.B. als "Sonnenwind" bezeichnet werden. Wenn also der Weltraum eine bestimmte Dichte haette, kaeme es bei einer bestimmten Geschwindigkeit auch zu einer extremen Kompression, weil die Substanz des "unvollstaendigen Weltraum-Vakuums" als "Fahrtwind" aufgestaut wird. Als Geschwindigkeitswert, bei dem eine größtmögliche Kompression der "Weltraum-Substanz", die als Aether bezeichnet werden soll, angenommen wird, soll der Wert der Lichtgeschwindigkeit c=2,9979*10^8m/s gelten. Auf diese Einschätzung kann man kommen, wenn man sich das Verhalten von Teilchenpaketen in einem Ringbeschleuniger ansieht: Egal, wie die Antriebsenergie gesteigert wird, die Beschleunigung geht immer mehr gegen null und es zeigt sich somit ein ähnliches Verhalten wie bei der Beschleunigung eines Objektes auf Schallgeschwindigkeit. Interessant wäre es, die Dichte des Weltraums zu ermitteln. An dieser Stelle soll ein Weg vorgestellt werden, mit dessen Hilfe sich zumindest die ungefähre Dichte als Diskussionsgrundlage bestimmen liesse. Diese soll als Arbeitsbegriff die Bezeichnung "Ätherdichte" haben.
Als Rechenmethode dient ein Vergleich zwischen den Verhältnissen im Medium Luft und denen im Medium Äther des Weltraums. In beiden Medien findet ein Vergleich der Verhältnisse einerseits bis zur Schallgeschwindigkeit und andrerseits bis zur Lichtgeschwindigkeit statt.
Aufgrund des Luft- bzw. des Ätherwiderstandes soll der Betrag der konstant antreibenden Kraft so normiert werden, dass die Beschleunigung zu Beginn einer Bewegung maximal ist und dann bei v_schall=334m/s bzw. c=2,9979*10^8m/s jeweils den Beschleunigungswert a=0m/s² erreicht. Da die Luftdichte mit 1,293kg/m³ bekannt ist, kann die verbleibende Beschleunigung fuer einen bestimmten Anteil der Schallgeschwindigkeit errechnet werden, z.B. a(v=1/2*v_schall) oder a(1/3*v_schall), d.h. die gestaute Substanz vor dem bewegten Objekt soll als Annahme immer die gleiche Härte und Widerstandskraft haben, wenn die Anteile q zu den Grenzgeschwindigkeiten v_schall und c gleich sind, d.h. dann ist die Festigkeit des gestauten Mediums, d.h. Luft oder Aether, gleich. Bei derselben konstanten Antriebskraft und Masse wird dann angenommen, dass die verbleibenden Beschleunigungen im Medium Luft und Aether dieselben Werte haben. Somit gelte dann a(v=1/2*v_schall)=a(v=1/2*c). Mit Hilfe dieser Methode kann nunmehr die Dichte des Weltraum-Vakuums berechnet werden.
Die Formel fuer die Widerstandskraft des "Fahrtwindes" in einem Medium lautet:
F_w=1/2*rho*cW*A*v^2
Wobei: rho := Dichte, cW := Widerstandsbeiwert, A := Anblasflaeche, v := Geschwindigkeit
Soll eine Beschleunigung berechnet werden, so gilt:
F=m*a bzw. a=F/m

Allerdings verringert sich die Beschleunigung mit zunehmender Geschwindigkeit, wenn die Antriebskraft konstant bleibt, da die Widerstandskraft aufgrund des "Fahrtwindes" im Medium steigt:
a(v)=(F-F_w)/m=(F-1/2*rho*cW*A*v^2)/m
Wobei F := gleichbleibende Antriebskraft

Da die Luftdichte mit rho=1,293kg/m³ bekannt ist, kann a(v=q*v_schall) errechnet werden, z.B. für q=1/2 oder q=1/4.

Da a(v=q*v_schall)=a(v=q*c) gelten soll, kann nunmehr nach der Aetherdichte rho_aether umgeformt werden:
a(v)=(F-F_w)/m=(F-1/2*rho*cW*A*v^2)/m
a(v=q*c)=[F-1/2*rho_aether*cW*A*(q*c)^2]/m
rho_aether=[F-m*a(v=q*c)]/(1/2*cW*A*q^2*c^2)
rho_aether=[F-m*a(v=q*v_schall)]/(1/2*cW*A*q^2*c^2) wegen a(v=q*c)=a(v=q*v_schall)
rho_aether={F-m*[F-1/2*rho_luft*cW*A*(q*v_schall)^2]/m}/(1/2*cW*A*q^2*c^2)
rho_aether=(1/2*rho_luft*cW*A*q^2*v^2_schall)/(1/2*cW*A*q*c^2)
rho_aether=rho_luft*v^2_schall/c^2
rho_aether=1,293*334^2/(2,9979*10^8)^2= 
1,60493398*10^-12 kg/m^3

Diagramm: Bei konstanter Antriebkraft und steigender Geschwindigkeit, sinkt die Beschleunigung aufgrund des Fahrtwindes auf null.

Tunneleffekt

Wenn man ein Alpha-Teilchen, d.h. einen Helium-Kern, auf einen schweren Atomkern schießt, so nimmt wegen der Coulombschen Abstoßung die kinetische Energie um so mehr ab, je kleiner die Entfernung zum Atomkern wird. Dafür steigt die potentielle Ernergie des Alpha-Teilchens weiter an. Wenn die anfängliche Kinetische Energie ausreichend war, dann überwindet das positiv geladene Teilchen den Bereich der Coulomb-Kräfte und gelangt in den Bereich der Kernbindungskräfte. Andersherum benötigen Teilchen genügend Kinetische Energie, um den Potenzialwall der Kernbindungskräfte vom Kern weg nach außen zu überwinden. Allerdings ist es dann beim radioaktiven Alphazerfall verwunderlich, dass Alpha-Teilchen sich vom schweren, radioaktiven Atomkern entfernen können, obwohl sie nicht über die notwendige Kinetische Energie verfügen. Man bezeichnet den Vorgang der Überwindung eines solchen Potenzialwalls ohne ausreichende Energie als Tunneleffekt. Er besagt, dass Teilchen durch Barrieren hindurch gelangen - tunneln - können, die eigentlich unüberwindbar sind. Erklärung findet er bei quantentheoretischen Betrachtungen, wonach in den physikalischen Aussagen bezüglich des Verhaltens von Teilchen in der Nähe des Atomkerns eine gewisse Unschärfe vorhanden ist und die Anzahl der ohne ausreichende Energie durch den Potenzialwall kommenden Teilchen immer mit mehr als Null angegeben wird. Das Verblüffende dabei ist, dass die Teilchen offenbar keine Zeit für die Tunnelung brauchen. Der Tunneleffekt ist also ebenso - "unendlich" - schnell wie die so genannte Quantenteleportation: Selbst über die größten Distanzen im Universum - "spüren" - entsprechend präparierte Photonenpaare den Zustand des jeweils anderen Partners, ohne dass ein messbarer Informationsaustausch und damit Zeit nötig wäre. Einstein sprach von "spukhaften Fernwirkungen", die ihm höchst suspekt waren. 

Günter Nimtz hat gemeinsam mit Professor Alfons Stahlhofen von der Universität Koblenz das Tunneln von Photonen untersucht, um festzustellen, ob dies wirklich ohne Zeitverlust geschieht, also mit unendlicher Geschwindigkeit. Dazu haben die beiden Physiker digitale Signale mit Mikrowellen durch ein geteiltes Prisma aus Acrylglas geschickt und gemessen, wie lange sie unterwegs sind, wenn sie an der Kontaktstelle der beiden Prismen reflektiert werden. Dann zogen sie die Prismen auseinander, sodass ein Teil der Photonen gezwungen war, eine zusätzliche Strecke durch die eigentlich undurchdringliche Barriere Luft zu tunneln. Die an der Prismawand abgelenkten Photonen und die in die zweite Prismahälfte durchgelassenen "getunnelten" Photonen kamen genau gleichzeitig an den beiden Empfangsdetektoren an. Letztere hatte die Luft-Barriere also ultra-schnell überquert, um so viel schneller als Lichtgeschwindigkeit, dass die Forscher es nicht messen konnten. Dabei stellte sich heraus, dass die digitalen Signale immer zur gleichen Zeit und unverformt ankamen, selbst wenn sie einen ganzen Meter zusätzlichen Weg zurücklegen mussten. Daraus folgern Nimtz und Stahlhofen, dass beim quantenphysikalischen Tunneln tatsächlich keine Zeit vergeht, egal wie groß die Distanz ist. Das steht in völligem Einklang mit vielen Experimenten der Quantenphysik, wo der Tunneleffekt bisher aber nur auf atomaren Distanzen beobachtet wurde. Erklären lässt sich die unendliche Geschwindigkeit mit virtuellen Photonen, die sich am Ende der Tunnelbarriere wieder in reale Photonen verwandeln – auch dies nichts Neues, sondern von Nobelpreisträger Richard Feynman bereits vor Jahrzehnten vorhergesagt.

Lichtgeschwindigkeit und Mehr

Die Lichtgeschwindigkeit ist eine Naturkonstante, die meistens als Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum definiert wird und einen Zahlenwert von c = 299792458 m/s = 299792,458 km/s hat. So weit so gut, doch wird man bei der Angabe von Geschwindigkeiten nicht darauf verzichten können, zu sagen, worauf sich die Geschwindigkeitsangabe bezieht, d.h. man hat dort, wo ein solches Bezugssystem nicht intuitiv und als unausgesprochener Konsens vorhanden ist, eine Festlegung zu treffen. An dieser Stelle soll der Vorschlag gemacht werden, dass ersteinmal die Geschwindigkeiten der Ausbreitung einer Lichtwelle in einem Medium, z.B. in Glas oder in Luft als Vorbild genommen wird, d.h. es wird die Geschwindigkeit des Lichtstrahls bezüglich des als Ruhesystem funktionierenden Mediums angegeben. Diese Methode, ein Bezugssystem für die Geschwindigkeitsangabe einer sich ausbreitenden Lichtwellenfront zu wählen, könnte auch auf die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Verwendung finden, indem man so tut, als ob das Vakuum ein Medium wäre. Insofern könnte die Lichtgeschwindigkeit im Weltraum dann auf ein Himmelskoordinatensystem bezogen werden, dessen Ursprung durch Geraden zwischen weit entfernten Fixsternen festgelegt wird. Teilweise wird die Lichtgeschwindigkeit auch auf die CMB (cosmic microwave background), d.h. die Hintergrundstrahlung, im Universum bezogen - allerdings weichen die Werte dann ab.

An dieser Stelle tritt dann oftmals die aus dem Sport bekannte Frage auf, ob es nicht schneller ginge und es gibt hierzu sehr unterschiedliche Ansätze. Dazu wäre die Frage zu klären, in welchem Falle man davon sprechen könnte, dass eine Geschwindigkeit größer als die Geschwindigkeit des Lichtes sei. Wenn eine Lampe eingeschaltet wird, dann breitet sich das Licht nach allen Seiten aus und man könnte überlegen mit welcher Relativ- oder Differenzgeschwindigkeit sich zwei Lichtwellenfronten, die genau auf der entgegengesetzten Seite liegen, sich voneinander entfernen - das wird sicherlich die doppelte Lichtgeschwindigkeit sein, doch damit ist nichts bahnbrechend neues ausgesagt, da es sich um zwei voneinander völlig unabhängige Ereignisse handelt. In diesem Zusammenhang wird oftmals auch die hohe Geschwindigkeit eines rotierenden Laserstrahls erwähnt, dessen Lichtpunkt z.B. mit dreifacher Lichtgeschwindigkeit über den Mond streichen würde. Es würde allerdings auch hier keine Information mit mehr als Lichtgeschwindigkeit übertragen werden.Wenn man es sich als Gedankenexperiment einmal vorstellt, dass ein Laserstrahl, der irgendeine Information projiziert, z.B. den Buchstaben "A", im Kreis rotiert und dabei eine Umdrehung pro Sekunde macht, dann würde er die Mondoberfläche mit einer Geschwindigkeit von
v=384000000*2*pi m/ 1s=24,12743158*10^8 m/s überstreichen, was ca. das 8fache der Lichtgeschwindigkeit wäre. Dies stände auf den ersten Blick im Widerspruch zur Behauptung, dass keine Information schneller als mit c=2,99792458*10^8 m/s übermittelt werden könne. Allerdings kann man hin und her überlegen, wie man will, es gelingt so nicht einen Buchstaben irgendwo einzugeben und ihn dann mit mehr als Lichtgeschwindigkeit zu einer Empfängerstation zu befördern.

Wenn sich ein bewegbares Objekt mit der Geschwindigkeit v_A bewegt und auf bzw. in diesem sich ein zweites Objekt mit der Geschwindigkeit v_B bewegt, dann möchte man annehmen, dass die Gesamtgeschwindigkeit v_Gesamt=v_A + v_B wäre - dem stimme ich zu - allerdings wird einer solchen Ansicht teilweise widersprochen, so dass dann doch der Versuch gemacht werden soll, einen Nachweis zu führen, dass v_Gesamt = v_A + v_B ist.
Die Bewegung der Objekte A und B soll über ein Zeitintervall t stattfinden, hierbei bewegt sich Objekt A um die Strecke s=a und das Objekt B um die Strecke s=b. Somit errechnen sich die Einzelgeschwindigkeiten v_A=a/t und v_B=b/t Die Gesamtgeschwindigkeit des Objektes B von außen aus betrachtet wäre dann
v_Gesamt=(a+b)/t=a/t+b/t=v_A+v_B
Wird also in einem bewegten Fahrzeug Licht eingeschaltet, dann bewegt sich bezüglich der Straße die Lichtwellenfront mit mehr als Lichtgeschwindigkeit - was fehlt wäre die praktische Bestätigung im Experiment.

Neutrinos schneller als Licht?
schneller-als-das-licht.
neutrinos-cern-licht

Integral Anwendungen

In naturwissenschaftlichen oder mathematischen Diskussionsboards oder in Vorlesungen oder Seminaren zur Angewandten Mathematik wird man immer wieder das Integral als mathematische Rechnungsart benutzen müssen, um beispielsweise Produkte der Art  f(x) * t berechnen zu können. Nachfolgend sollen einige Rechnungen vorgeführt werden.

Weg als Geschwindigkeit mal Zeit

Da die Geschwindigkeit als Wegzunahme pro Zeiteinheit,

definiert ist, kommt man auf den Weg, indem man die Gesamtzeit einfach mit der Geschwindigkeit multipliziert, d.h.

Soweit so gut. Etwas komplizierter wird es, wenn es sich um eine beschleunigte Bewegung handelt, so dass die Geschwindigkeit ständig größer wird und somit eine Funktion von der Zeit v(t) darstellt. Da die Beschleunigung wiederum als Geschwindigkeitszunahme pro Zeiteinheit definiert ist, kommt man auf die Geschwindigkeit, indem man den Zahlenwert der Beschleunigung mit der Gesamtzeit multipliziert, d.h.

Wollte man jetzt den Weg bei einer solchen beschleunigten Bewegung bestimmen, so müsste man in einem Diagramm Rechtecke bilden, die als Ordinate das Produkt a*t und als Abzisse ein kleines Zeitintervall

enthalten würden. Das Aufsummieren solcher Rechtecke stellt die typische Anwendung des Integrals dar, so dass geschrieben werden kann, dass der Weg s gleich:

und wenn t1 = 0 ist, dann

wobei dies dann auch die bekannte Formel 

ist. Will man also wissen, welchen Weg s ein Stein in t = 2 Sekunden zurück legt, den man in einen Brunnenschacht fallen lässt, dann kann man mit der konstanten Fallbeschleunigung

rechnen - gebräuchlich ist hier das Formelzeichen g. Somit könnte selbstverständlich die Formel

benutzt werden, da es um das Thema Integral gehen soll, also dies auch noch einmal per Integral:

Arbeit als Kraft mal Weg
Bei konstantem Kraftaufwand wird die Arbeit (Energie) einfach aus Kraft mal Weg,

berechnet. Allerdings bleibt die Kraft nicht immer konstant, so dass wiederum die Summe von Rechtecken aus

gebildet werden muss. Ein Anwendungsbeispiel wäre hier die Energie einer gespannten Feder, wobei sich die Federkraft aus dem Produkt der Federkonstanten D und dem Weg s berechnet, d.h. 

Wiederum kann man sich zur Berechnung der Arbeit einer gespannten Feder die Summe von Rechtecken aus

d.h.

vorstellen, so dass wiederum das Integral Verwendung finden kann:

und wenn bei s1=0 begonnen wird, dann 

was allgemein die Formel 

wäre.

Code:
ec60ad