Integral

Großes Geschehen kündigt sich meistens vorher an: Der oder die kommt zu Besuch oder in einem Jahr ist die Fußballmeisterschaft in der Stadt. Während der Schulzeit war es etwa ab der "Siebten" das Integral, welches einen Flair von höherer Bildung und einer kaum fassbaren Schwierigkeitsstufe verbreitete. Aber ständig war dieser mathematische Begriff auch Kristallisationspunkt von Anstrengungen, um dieses Ziel zu erreichen.

Wenn man die Bedeutung des Integrals einschätzen soll, dann wird man zur Superlative greifen müssen und könnte es vielleicht mit der Erfindung des Flugzeuges für die Menschen oder mit dem Wert aller Kunstschätze einer Stadt vergleichen, so wichtig ist dieser Begriff für das Denken und die Wissenschaft. Heutzutage, wo jeder per Internet in Foren und sonstigen Boards und Sites sich mit beliebigen Wissensinhalten ohne Nachweis entsprechender Vorkenntnisse befassen kann, wird das Integral auch manchem Bürger begegnen, der sich während der Schulzeit mit diesem Thema noch nicht befassen konnte oder auch befassen wollte. An dieser Stelle sei also einmal auf ein wirklich interessantes und mächtiges mathematisches Instrumentarium hingewiesen und der Versuch unternommen, einige erklärende Worte zu diesem beizufügen. Will man das Integral herleiten, so gibt es verschiedene Möglichkeiten, von denen man nur eine gleichzeitig denken kann, so dass man sich zu entscheiden hat, obwohl es mit allem und jedem verknüpft ist. Am anschaulichsten ist der Zugang über die Problemstellung einer Flächenberechnung. Wenn sich solche Berechnungen mit krummlinig begrenzten Flächen wiederholen, dann stellt es eine Methode dar, das reale Werkstück durch eine Abbildung in einem Koordinatensystem zu abstrahieren, indem man es durch zwei Ordinaten (senkrechte Graphen) eingrenzt und den oberen und unteren Rand mit Hilfe von Funktionen darstellt.

Für den Anfang und zwecks Herleitung sei einmal angenommen dass der untere Rand die Abzisse (waagerechter Graph) mit der Funktionsgleichung f(x)=0 wäre, so dass nur der obere Rand des Flächenstückes etwas Komplexität in die Aufgabenstellung bringt. Für die so beschriebene Fläche hat sich eine bestimmte mathematische Notation mit dem Integralsymbol durchgesetzt, die hier als Vorwegnahme genannt werden soll. Die beiden Ordinaten links und rechts werden oben und unten an dem Integralzeichen geschrieben und die Funktion, z.B. f(x)=x², dahinter. Auf das dx soll etwas später eingegangen werden. Um sich dem Zahlenwert eines bestimmten Integrals systematisch zum Zwecke der Herleitung zu nähern, kann man Obersumme und Untersumme zu der angegebenen Funktion bilden und erhält so in den Grenzen x=a und x=b zwei ungefähre Werte des Flächeninhaltes. Im nachfolgenden Beispiel soll der Flächeninhalt unter der Quadratfunktion f(x)=x² in den Grenzen x=0 und x=1 bestimmt werden. Hierzu ist das Intervall [0, 1] in vier Unterintervalle [0; 1/4], [1/4; 1/2], [1/2; 3/4], [3/4; 1] aufgeteilt worden. Mit Hilfe des linken Diagramms wird die Untersumme und mit dem rechten die Obersumme bestimmt. Der Flächeninhalt der Rechtecke bestimmt sich jeweils aus dem Produkt von Funktionswert und Intervallbreite.

4. Untersumme	4. Obersumme

Die Flächen der Rechtecke lassen sich nun einfach berechnen, sodass deren Summe jeweils eine obere und eine untere Schranke für den Flächeninhalt unter dem rotgezeichneten Graphen der Quadratfunktion haben.
Somit ist der Zahlenwert des Integrals - Flächeninhalts - größer als die Untersumme der vier Rechtecke unter dem Graphen von f(x) = x²:





Somit ist der Zahlenwert des Integrals - Flächeninhalts - kleiner als die Obersumme der vier Rechtecke, die über den Graphen von f(x) = x² hinausragen:

Der tatsächliche Zahlenwert des Flächeninhaltes unter dem Graphen der Quadratfunktion im Intervall [0; 1] wird "eingeschachtelt" durch die Zahlenwerte der 4. Untersumme und der 4. Obersumme. Man kann sich vorstellen, dass sich das Integral, bzw. der Flächeninhalt, immer genauer berechnen läßt, wenn die Anzahl der Unterteilungen des Gesamtintervalls [a; b] erhöht wird.

Da der Algorithmus zur Bestimmung der Untersumme für n=4 bekannt ist, kann nunmehr die Formel für die Bestimmung der Untersumme allgemein für n angegeben werden:

Da der Algorithmus zur Bestimmung der Obersumme für n=4 bekannt ist, kann nunmehr die Formel für die Bestimmung der Obersumme allgemein für n angegeben werden:


Mit Hilfe der Anwendung des Grenzwertes kommt man zu dem genauen Wert des Integrals, d.h. es wird formal definiert:



Für die Obersumme On soll die Bestimmung des Grenzwertes und damit des Integrals


einmal vorgerechnet werden. Wobei es zuerst um die Vereinfachung des Rechenausdruckes der Obersumme On geht:

 

Der mit Hilfe von Rechteckstreifen angenäherte Flächeninhalt wird um so genauer, je mehr Intervalle "delta x" vorhanden sind. Nach dieser Idee erhält man den genauen Wert der Fläche unter dem Graphen der Funktion, indem man die Anzahl der Intervalle oder Rechteckstreifen "n" gegen "Unendlich" streben lässt. Wenn sich somit danach Terme finden, wo nur die Variable "n" im Nenner steht, dann wird dieser Term oder Rechenausdruck zu null, weil durch eine "unendlich" große Zahl geteilt worden ist.

Somit hat das bestimmte Integral den folgenden Zahlenwert:

 

Allgemein kann aus der Quadratfunktion f(x) = x² die Stammfunktion F(x) bestimmt werden. Dies geht nach der Formel:

 

Wenn man also die Fläche zwischen den linken und rechten Grenzen x=a und x=b berechnen will, bestimmt man die Stammfunktion und setzt danach die Werte für "a" und "b" in die Stammfunktion ein und zieht diese voneinander ab:  

 

In diesem Falle konkret also:

Wie zu Beginn gesagt, das Thema Integral ist unerschöpflich - doch wozu gibt es Tabellenbücher, mit denen man die einzelnen Formeln nachschlagen kann, wenn man das Grundprinzip verstanden hat.