Methode zum Nachweis des Wertes der Schallgeschwindigkeit per Rechnung

Das Finden einer passenden Modellvorstellung zur Erklärung unterschiedlicher physikalischer Phänomene mit Hilfe einer universalen Ursache ist das eine Ding – der Nachweis der Richtigkeit solcher Ansichten ein anderes. An dieser Stelle soll zumindest ein Weg skizziert werden, mit dessen Hilfe es möglich wäre, rechnerisch zu bestimmen, wie schnell eine Schallwelle durch eine Kette elastischer Teilchen läuft. Bei der Erzeugung und Übertragung von Schall in Luft, d.h. in Gasen oder anderen Fluiden, sowie bei der Erzeugung und Übertragung von Licht durch ein Medium, welches teilweise als Äther bezeichnet wird, kann von einem einfachen mechanischen Modell ausgegangen werden, d.h. es sollen Masseteilchen vorhanden sein, die elastisch miteinander verbunden sind. Ziel wäre es, den Bewegungsvorgang einer Auslenkung per Membran an einem einfachen Beispiel rechnerisch zu betrachten. Eine auslenkende Apparatur oder auch Membran übt Kraft auf ein elastisches Gasvolumen aus. Es soll der Bewegungsvorgang einer elastisch gelagerten Masse, die durch eine Membran ausgelenkt wird, durchgerechnet werden. Masse-Feder-Modell als Darstellung eines Luftvolumens Es ist bekannt, dass sich ein Gaskörper, z.B. ein Luftvolumen, elastisch verhält und damit komprimierbar ist. Zum anderen besitzen Gasmoleküle ein Gewicht, d.h. sie haben eine bestimmte Masse. Somit wäre die Vermutung begründet, dass die Geschwindigkeit der Ausbreitung einer Schallwelle etwas mit den Eigenschaften Elastizität und Masse zu tun hätte. Um eine rechnerische Handhabung zu ermöglichen, wird ein Luftvolumen mit der Länge l und der Masse m in ein Modell aus Druckfeder und Masse überführt.

Wird eine Membran ausgelenkt und übt somit auf die Druckfeder, welche ein komprimierbares Gasvolumen darstellen soll, Kraft aus, so wird die Druckfeder (das Gasvolumen) kontrahiert (zusammengepresst), da die Masse aufgrund der Massenträgheit verharrt. Die komprimierte Feder (zusammengepresstes Gasvolumen) erzeugt allerdings auch eine Kraftwirkung auf die Masse des Gasvolumens, so dass diese beschleunigt wird und somit einen bestimmten Weg pro Zeit zurück legt. Ziel sei es, rechenbar zu machen, wieviel Zeit t vergeht, bis die Länge l des Gasvolumens durchschritten worden ist, d.h. so wird rechenbar, wielange ein Impuls benötigt, durch dieses Gasvolumen zu laufen und mit welcher Geschwindigkeit

 

dies geschieht. Der Begriff Federkonstante mit dem Formelbuchstaben D und der Einheit



ist gut eingeführt, um den Zusammenhang zwischen einer Kraft F und der Längenänderung der Feder herzustellen. Die Formel lautet:





Allerdings muß die Federkonstante für ein Gasvolumen erst hergeleitet werden, was im Beitrag Federkonstante Luft vorgeführt wird. An dieser Stelle sei nur die Formel der Federkonstante eines Gasvolumens notiert:






mit:

A ist Fläche in m²

ist Adiabatenkoeffizient, wobei 




 p ist Luftdruck in   wobei








V ist Volumen in m³

l ist Länge des Gaskörpers in m


Ausgangspunkt für einen mathematischen Ansatz ist die Überlegung, dass die Spannkraft $F\_spann$ jeweils genauso groß sein muß wie die Traegheitskraft $F\_traeg$ des Luftvolumens, wobei:




 und



 mit:

a ist Beschleunigung in m/s²

wobei:



somit:

 

und

m ist Masse in kg, wobei:







mit:

  ist Dichte in kg/m³.


Die Dichte der Luft beträgt:



So ergibt sich die Gleichsetzung:


 

  also:

 

 Mit Einsetzung:





 gilt:



 Und Einsetzung:




gilt:



umgeformt:




Wurzel:




Es stellt sich die Frage, wann der Zustand am Anfang des Luftvolumens am Ende ankommt?Nach dem Motto "Wir sind auf dem Wege" soll angenommen werden, dass die Schallwelle den Gaskörper durchlaufen hat, wenn das Ende des Luftvolumens um   verschoben worden ist - und es soll gelten:



Unter diesen Prämissen hätte man dann:








Setzt man die Zahlenwerte ein:





Dies ist ungefähr der bekannte Zahlenwert für die Schallgeschwindigkeit in Luft.

Warum sich ein Elektron in einem Teilchenbeschleuniger nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen kann

Bei dem Thema Lichtgeschwindigkeit oder gar Überlichtgeschwindigkeit wird man häufig - sicherlich mit Recht - hören, dass die bewegten Nukleonen oder Teilchen in einem Synchrotron oder Teilchenbeschleuniger nur bis zur Lichtgeschwindigkeit also c=299.792,458 km/s beschleunigt werden können - somit Überlichtgeschwindigkeit in solcher Großforschungsanlage nicht möglich wäre - siehe auch:

http://www.hephy.at/physik/die-technik/teilchenbeschleuniger/

Was gemäß dem eigenen Informationshorizont zu fehlen scheint, ist eine plausible und öffentliche Begründung für diesen Sachverhalt. Zumindest soll hier einmal eine Begründung gewagt werden.
Bei Auslenkungs- und Beschleunigungs-Vorgängen wie man sie von der Membran eines Lautsprechers kennt, durch welchen eine Luftsäule in Schwingungen versetzt wird, gilt, dass ein Mechanismus vorhanden sein muß, der dafür sorgt, dass der Platz vor einer auslenkenden Membran geräumt wird - da - was aus der Alltagserfahrung bekannt ist - ein Platz erst neu eingenommen werden kann, wenn das zuvor raumfüllende sich weiter bewegt hat. Die Natur macht dies nach Beobachtung durch einen vorauseilenden und dann schwingenden Impuls, welcher sich bei Schall in einem fluiden oder festen Übertragungsmedium mit Schallgeschwindigkeit und im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit bewegt.

Betrachtet man den Schwingungsvorgang eines Lautsprechers, dann wird man feststellen, dass oftmals nur eine Maximalgeschwindigkeit von 1 m/s erreicht wird - allerdings wird die so angeschobene Luftsäule dann mit Schallgeschwindigkeit von 334 m/s bewegt. Solche Beispiele könnten in größerer Zahl gebracht werden, d.h. man schiebt Wasser noch mit der Hand und sieht doch bereits neue Wellen am gegenüberliegenden Ufer des Sees. Selbstverständlich bewegt sich etwas Angeschobenes schneller als das Anschiebende, denn es kann erst weggeschoben werden, wenn das Weggeschobene irgendwo einen Platz, d.h. Freiraum, hat, wo es hin kann - somit startet bei einem Anschiebevorgang immer ein schwingender Impuls, der einen solchen Bewegungsvorgang vermittelt - und dieser Impuls ist wesentlich schneller als die anschiebende Membran.
Wenn der Impuls mit 334 m/s durch die Luftsäule durch ist, dann bewegt sich das Ende - nach dieser Modellvorstellung - ein Stückchen weiter - danach rücken vom Ende her Volumenanteile nach, bis auch die auslenkende Membran des Lautsprechers entsprechend vorrückt. So hat jeder Auslenkungs- oder Schiebungs-Vorgang zwei Geschwindigkeiten, einmal die der auslenkenden Apparatur und zum anderen die Schallgeschwindigkeit des Mediums, mit welcher die Bestandteile des Mediums einzeln fortbewegt werden - gilt natürlich auch für einen Bleistift, den man verschiebt - siehe:

http://de.theoriefinder.wikia.com/wiki/Verschiebung_eines_Gegenstandes

Beachtet man allerdings den Vorgang bei unterschiedlichen Gelegenheiten, dann erkennt man bei einer Auslenkung in Wasser eine Bugwelle und eine sich sehr schnell entfernende Wellenfront.

https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=i2xSYNJQ808

Der Impuls entfernt sich sehr viel schneller als es dem Auslenkungsvorgang entspricht, dies ist eigentlich ein erstaunliches Bild, wenn man bei unterschiedlichen Gelegenheiten drauf achtet. Nur rein formal und prinzipiell sollte begründet werden, wieso elektrische und magnetische Felder die Höchstgeschwindigkeit c haben. Vorweg: Für ein elektrisches Feld sei dies zugestanden und für ein magnetisches Feld einfach nicht bekannt. Wobei ein Feld eigentlich statisch ist und sich nur in seiner Aufbauphase sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit ausbreitet.

Ein elektrisches Feld breitet sich mit annähernd c in einem Stromkreis vom negativen als auch vom positiven Pol aus. Nachdem es sich ausgebreitet hat, ist es ein ruhendes Feld, d.h. es handelt sich um statische Elektrizität. Erst jetzt kann man sich ein solches Feld als Beschleunigungsstrecke in einem Teilchenbeschleuniger denken und stellt sich ein Elektron oder Proton als Probekörper vor, der dann entsprechend bewegt wird. Allerdings kann so auch noch nicht gesagt werden, bis zu welcher Geschwindigkeit des umlaufenden Teilchens die Coulomb-Kraft des elektrischen Feldes der Beschleunigungsstrecke aufgebaut werden kann, die dessen Beschleunigung bewirkt. Somit wäre eine weitere Modellannahme bezüglich der Ursache und Wirkungsweise eines elektrischen Feldes notwendig. Ich gehe davon aus, dass ein solches Feld aus ständig neu erzeugten Impulsen besteht, die sich mit Lichtgeschwindigkeit durch das Vakuum ausbreiten. Wenn ein solches Feld, welches aus lichtschnellen Impulsen besteht, dann die umlaufenden Nukleonen, z.B. Elektronen, beschleunigen soll, geht es natürlich nicht schneller als bis zur Lichtgeschwindigkeit.

Nachfolgend die Abbildung einer Beschleunigerstrecke in einem Teilchenbeschleuniger, wobei die Impulse des Elektrischen Feldes als Modellannahme sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und somit die umlaufenden Teilchen nur auf maximal c, d.h. Lichtgeschwindigkeit, beschleunigt werden können.

Schall

Die Definition dessen, was unter dem physikalischen Begriff Schall zu verstehen ist, bleibt in der Diskussion. An dieser Stelle soll unter Schall die Welle in einem Medium - z.B. Luft, Wasser, Stahl - verstanden werden - die durch das Hörorgan eines Lebewesens, dem Ohr, gehört werden kann. 
Die Entstehung solcher Schallwelle, die sich mit Schallgeschwindigkeit ausbreitet, bleibt auch etwas unklar, da es zum einen um die konstante Schallgeschwindigkeit - in Luft ca. 333 m/s - geht und zum anderen zu erklären wäre, warum das Fächeln von Luft oder die - schiebende - Wellenerzeugung mit der Hand in Wasser kein deutliches Geräusch verursachen, d.h. damit auch keinen Schall erzeugen.

Schallentstehung

Stellt man sich ein Volumina eines elastischen Mediums vor - dann könnte man sich ein Modell mit weicher Federung denken - d.h. eine Aneinanderreihung von Massen mit Druckfedern dazwischen, die eine sehr kleine Federkonstante haben - also sehr nachgiebig sind.
Wird eine hohe Kraftwirkung auf diese Aneinanderreihung von Gegenständen mit "weichen" Druckfedern dazwischen ausgeübt, dann sind diese Druckfedern ohne Bedeutung und werden ohne Zeitverlust zusammengeschoben, d.h. der Impuls läuft mit einer Geschwindigkeit als ob das Gebilde nur aus aneinandergereihten Feststoffen bestünde, d.h. mit solcher Schallgeschwindigkeit. Dies wäre eine Möglichkeit, wie das bezüglich Schallübertragung in Luft funktioniert.

Fazit: Möglichkeiten der Schallentstehung

So bleiben abschließend zwei grundsätzliche Möglichkeiten der Schallerzeugung: Man hört nur ein Geräusch, wenn die Auslenkung mit 

• Schallgeschwindigkeit oder mit mehr als Schallgeschwindigkeit erfolgt 
• oder wenn die Auslenkung mit großer Beschleunigung erfolgt. 

Es kommt vermutlich darauf an, dass durch hohe Geschwindigkeit oder große Beschleunigung des Schallerzeugers die Teilchen des Mediums sehr stark komprimiert werden und dann unter Energiefreisetzung solche Schallmauer durchbrochen wird. Wobei auch eine hohe kurzzeitige Beschleunigung zu einer solchen Schallmauer führt, da nicht nur die Massenträgheit der Teilchen direkt vor der auslenkenden Membran zu überwinden ist, sondern auch die Massen der Teilchen weit vor der Membran zu beschleunigen sind.

Beispiele Rechnung zur Beschleunigung einer Membran

1. Beispiel:

Man nehme einen Schallerzeuger, dessen Membran einen Hub von s=2mm=0,002m hat und diesen Weg, d.h. die Amplitude, in t=2ms=0,002s zurück legt, dann hätte man ungefähr eine Geschwindigkeit von v=1m/s. Interessant ist allerdings die Beschleunigung, da es nach jetzigem Kenntnisstand bei der Ursache der Schallerzeugung entweder um Überschreitung der Schallgeschwindigkeit oder um eine hohe Beschleunigung der Membran geht. Die Formel wäre v=a*t, d.h. a=v/t und somit im Beispiel: a=1/0,002m/s²=500 m/s² - dies wäre eine ganz solide Beschleunigung, wenn man sie mit der Fallbeschleunigung a=g=9,81m/s² vergleicht.

2.Beispiel:

Eine Sinus-Schwingung von f=100Hz wird über eine Membran übertragen, wobei der Hub der Membran s=0,01m betragen soll. Somit ist die Funktion der mechanischen Schwingung der Membran: '''s(t)'''=s_max*sin(omega*t)=s_max*sin(2*pi*f*t), d.h. eingesetzt: s(t)=0,01*sin(2*3,14*100*t)='''0,01*sin(628*t) '''

Um letzten Endes zu ermitteln, welche Funktion die Beschleunigung hat, wäre erstmal die Geschwindigkeit per Erster Ableitung zu ermitteln: s(t)=0,01*sin(628*t), somit: s'(t)='''v(t)'''=0,01*628*cos(628*t)='''6,28*cos(628*t)'''

Die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ergibt die Beschleunigung: v(t)=6,28*cos(628*t), somit v'(t)='''a(t)'''=-6,28*628*sin(628*t)='''-3943.84*sin(628*t)'''

Man kann jetzt einige Zeitpunkte nehmen und die entsprechenden Beschleunigungen errechnen:

Winkel °	Bogen- Maß rad	Zeit s	Weg s(t)= 0,01*sin(628*t) m	Geschwindigkeit v(t)= 6,28*cos(628*t) m/s	Beschleunigung a(t)=  -3943.84*sin(628*t) m/s²
0°	0	0	0	x	0
45°	0.7853	0.00125	x	x	-2787.605
90°	1.5707	0.0025	0,01	0	-3943.838
135°	2.3561	0.00375	x	x	-2792.045
180°	3.141	0,005	0	x	-6.281168
225°	3.9269	0.00625	x	x	2783.158
270°	4.7123	0.0075	-0,01	0	3943.828
315°	5.4977	0.00875	x	x	2796.477
360°	6.2831	0,01	0	x	12.56232