Methode zum Nachweis des Wertes der Schallgeschwindigkeit per Rechnung

Das Finden einer passenden Modellvorstellung zur Erklärung unterschiedlicher physikalischer Phänomene mit Hilfe einer universalen Ursache ist das eine Ding – der Nachweis der Richtigkeit solcher Ansichten ein anderes. An dieser Stelle soll zumindest ein Weg skizziert werden, mit dessen Hilfe es möglich wäre, rechnerisch zu bestimmen, wie schnell eine Schallwelle durch eine Kette elastischer Teilchen läuft. Bei der Erzeugung und Übertragung von Schall in Luft, d.h. in Gasen oder anderen Fluiden, sowie bei der Erzeugung und Übertragung von Licht durch ein Medium, welches teilweise als Äther bezeichnet wird, kann von einem einfachen mechanischen Modell ausgegangen werden, d.h. es sollen Masseteilchen vorhanden sein, die elastisch miteinander verbunden sind. Ziel wäre es, den Bewegungsvorgang einer Auslenkung per Membran an einem einfachen Beispiel rechnerisch zu betrachten. Eine auslenkende Apparatur oder auch Membran übt Kraft auf ein elastisches Gasvolumen aus. Es soll der Bewegungsvorgang einer elastisch gelagerten Masse, die durch eine Membran ausgelenkt wird, durchgerechnet werden. Masse-Feder-Modell als Darstellung eines Luftvolumens Es ist bekannt, dass sich ein Gaskörper, z.B. ein Luftvolumen, elastisch verhält und damit komprimierbar ist. Zum anderen besitzen Gasmoleküle ein Gewicht, d.h. sie haben eine bestimmte Masse. Somit wäre die Vermutung begründet, dass die Geschwindigkeit der Ausbreitung einer Schallwelle etwas mit den Eigenschaften Elastizität und Masse zu tun hätte. Um eine rechnerische Handhabung zu ermöglichen, wird ein Luftvolumen mit der Länge l und der Masse m in ein Modell aus Druckfeder und Masse überführt.

Wird eine Membran ausgelenkt und übt somit auf die Druckfeder, welche ein komprimierbares Gasvolumen darstellen soll, Kraft aus, so wird die Druckfeder (das Gasvolumen) kontrahiert (zusammengepresst), da die Masse aufgrund der Massenträgheit verharrt. Die komprimierte Feder (zusammengepresstes Gasvolumen) erzeugt allerdings auch eine Kraftwirkung auf die Masse des Gasvolumens, so dass diese beschleunigt wird und somit einen bestimmten Weg pro Zeit zurück legt. Ziel sei es, rechenbar zu machen, wieviel Zeit t vergeht, bis die Länge l des Gasvolumens durchschritten worden ist, d.h. so wird rechenbar, wielange ein Impuls benötigt, durch dieses Gasvolumen zu laufen und mit welcher Geschwindigkeit

 

dies geschieht. Der Begriff Federkonstante mit dem Formelbuchstaben D und der Einheit



ist gut eingeführt, um den Zusammenhang zwischen einer Kraft F und der Längenänderung der Feder herzustellen. Die Formel lautet:





Allerdings muß die Federkonstante für ein Gasvolumen erst hergeleitet werden, was im Beitrag Federkonstante Luft vorgeführt wird. An dieser Stelle sei nur die Formel der Federkonstante eines Gasvolumens notiert:






mit:

A ist Fläche in m²

ist Adiabatenkoeffizient, wobei 




 p ist Luftdruck in   wobei








V ist Volumen in m³

l ist Länge des Gaskörpers in m


Ausgangspunkt für einen mathematischen Ansatz ist die Überlegung, dass die Spannkraft $F\_spann$ jeweils genauso groß sein muß wie die Traegheitskraft $F\_traeg$ des Luftvolumens, wobei:




 und



 mit:

a ist Beschleunigung in m/s²

wobei:



somit:

 

und

m ist Masse in kg, wobei:







mit:

  ist Dichte in kg/m³.


Die Dichte der Luft beträgt:



So ergibt sich die Gleichsetzung:


 

  also:

 

 Mit Einsetzung:





 gilt:



 Und Einsetzung:




gilt:



umgeformt:




Wurzel:




Es stellt sich die Frage, wann der Zustand am Anfang des Luftvolumens am Ende ankommt?Nach dem Motto "Wir sind auf dem Wege" soll angenommen werden, dass die Schallwelle den Gaskörper durchlaufen hat, wenn das Ende des Luftvolumens um   verschoben worden ist - und es soll gelten:



Unter diesen Prämissen hätte man dann:








Setzt man die Zahlenwerte ein:





Dies ist ungefähr der bekannte Zahlenwert für die Schallgeschwindigkeit in Luft.

Auslenkung einer elastisch gelagerten Masse

Bei der Erzeugung und Übertragung von Schall in Luft, d.h. in Gasen oder anderen Fluiden, sowie bei der Erzeugung und Übertragung von Licht durch ein Medium, welches teilweise als Äther bezeichnet wird, kann von einem einfachen mechanischen Modell ausgegangen werden, d.h. es sind Masseteilchen vorhanden, die elastisch miteinander verbunden sind. Ziel soll hier sein, den Bewegungsvorgang einer Auslenkung durch eine Membran an einem einfachen exemplarischen Beispiel rechnerisch zu betrachten. Dabei soll in diesem Stadium auf die sich anbietende Integralrechnung sowie auf die Betrachtung einer Vielzahl von verbundenen Masseteilchen verzichtet werden, so dass das Wesentliche einfach und verständlich bleibt.
Vorgang
Es soll der Bewegungsvorgang einer elastisch gelagerten Masse mit Hilfe einer Tabellenkalkulation und somit variablen gegebenen Werten durchgerechnet werden. Eine Kraft F bewegt einen auslenkenden Stempel (Membran) so, dass die Geschwindigkeit v_0 konstant bleibt. Trifft diese Apparatur auf die Druckfeder, welche die komprimierbare Hülle irgendwelcher Atome oder sonstigen Teilchen darstellen soll, so wird die Druckfeder kontrahiert (zusammengepresst), da die verbundene Masse aufgrund der Massenträgheit verharrt. Die komprimierte Feder erzeugt allerdings nunmehr auch eine Kraftwirkung auf die Masse, so dass diese beschleunigt wird und somit auch eine Geschwindigkeit bekommt. Dadurch verringert sich die Geschwindigkeit, mit der die Druckfeder zusammengepresst wird - da v_0 - v_1_(i-1). Die Bewegungsvorgänge werden in Zeittakten delta_t mit delta_s_0_i und delta_s_1_(i-1) sowie delta_v_1_(i-1) berechnet. Der Index i bezeichnet dabei die Anzahl der vergangenen Zeittakte delta_t. Wobei es so gedacht ist, dass auf eine Komprimierung delta_s_0_i erst im nächsten Zeittakt eine Wirkung - somit per delta_s_1_(i-1) folgt. Ziel sei es einmal rechenbar zu machen wieviel Zeit vergeht, bis die Wege s_0 und s_1 gleich sind, d.h. so wird rechenbar wielange ein Impuls benötigt durch diese Vorrichtung zu laufen und mit welcher Geschwindigkeit dies geschieht. Späteres Ziel soll dann sein eine Sequenz von vielen elastischen Masse zu rechnen und diese so zu normieren, dass eine Ähnlichkeit z.B. zu Luftmolekülen etc. entsteht, die auch komprimierbar sind und Masse besitzen. Es ist zumindest die Idee vorhanden so eine Vielzahl von Gesetzen bezüglich der Sinneswahrnehmungen Schall und Licht aus einem solchen Modell von der theoretisch analytischen Seite her zu berechnen.

Rechnung:

 
Gegeben:
m = 1 kg
D = 100000 kg/s²
delta_t = 0,001825742 s
delta_s_1_0 = 0 m
delta_v_1_0 = 0 m/s
Rechengang:
delta_s_0_i = delta_t*(v_0-v_1_i)
s_0_i = delta_s_0_1 + ... +delta_s_0_i
delta_v_1_(i-1) = s_0_(i-1)*D*delta_t /m
v_1_(i-1)=delta_v_1_0 + delta_v_1_1 + ... + delta_v_1_(i-1)
delta_s_1_(i-1) = v_1_(i-1) * delta_t
s_1_(i-1) = delta_s_1_0 + delta_s_1_1 + ... + delta_s_1_(i-1)
Die Zeit delta_t wurde so eingestellt, dass am Ende der Rechnung die Geschwindigkeiten v_0 =1 und v_1 = 1 waren, so dass nunmehr in diesem ersten Beispiel errechnet werden konnte, wie schnell das Signal der Auslenkung durch die Vorrichtung läuft:
Die Wege s_0_2 und s_1_4 sind ungefähr gleich, so dass die Zeitdauer bis dieser gleiche Zustand erreicht wurde, ungefähr t = 3 * delta_t = 0,001825742*3=0.005477226 s beträgt.
Wenn die Länge der Vorrichtung mit 1 m angenommen wird, dann kann die Geschwindigkeit errechnet werden, mit der das Signal durch die Vorrichtung läuft:
v=s/t=1/0,005477226=182,574171670111841 m/s
Die Masse m wird in der Zeit 5 * delta_t auf die Geschwindigkeit 1 m/s beschleunigt - somit:
v=a*t a=v/(i*delta_t)=1/(5*0,001825742)= a=109,544503002067105 m/s²
Dies nur als Prinzip, wie Rechnungen dieser Art gemacht werden können.

Integral Anwendungen

In naturwissenschaftlichen oder mathematischen Diskussionsboards oder in Vorlesungen oder Seminaren zur Angewandten Mathematik wird man immer wieder das Integral als mathematische Rechnungsart benutzen müssen, um beispielsweise Produkte der Art  f(x) * t berechnen zu können. Nachfolgend sollen einige Rechnungen vorgeführt werden.

Weg als Geschwindigkeit mal Zeit

Da die Geschwindigkeit als Wegzunahme pro Zeiteinheit,

definiert ist, kommt man auf den Weg, indem man die Gesamtzeit einfach mit der Geschwindigkeit multipliziert, d.h.

Soweit so gut. Etwas komplizierter wird es, wenn es sich um eine beschleunigte Bewegung handelt, so dass die Geschwindigkeit ständig größer wird und somit eine Funktion von der Zeit v(t) darstellt. Da die Beschleunigung wiederum als Geschwindigkeitszunahme pro Zeiteinheit definiert ist, kommt man auf die Geschwindigkeit, indem man den Zahlenwert der Beschleunigung mit der Gesamtzeit multipliziert, d.h.

Wollte man jetzt den Weg bei einer solchen beschleunigten Bewegung bestimmen, so müsste man in einem Diagramm Rechtecke bilden, die als Ordinate das Produkt a*t und als Abzisse ein kleines Zeitintervall

enthalten würden. Das Aufsummieren solcher Rechtecke stellt die typische Anwendung des Integrals dar, so dass geschrieben werden kann, dass der Weg s gleich:

und wenn t1 = 0 ist, dann

wobei dies dann auch die bekannte Formel 

ist. Will man also wissen, welchen Weg s ein Stein in t = 2 Sekunden zurück legt, den man in einen Brunnenschacht fallen lässt, dann kann man mit der konstanten Fallbeschleunigung

rechnen - gebräuchlich ist hier das Formelzeichen g. Somit könnte selbstverständlich die Formel

benutzt werden, da es um das Thema Integral gehen soll, also dies auch noch einmal per Integral:

Arbeit als Kraft mal Weg
Bei konstantem Kraftaufwand wird die Arbeit (Energie) einfach aus Kraft mal Weg,

berechnet. Allerdings bleibt die Kraft nicht immer konstant, so dass wiederum die Summe von Rechtecken aus

gebildet werden muss. Ein Anwendungsbeispiel wäre hier die Energie einer gespannten Feder, wobei sich die Federkraft aus dem Produkt der Federkonstanten D und dem Weg s berechnet, d.h. 

Wiederum kann man sich zur Berechnung der Arbeit einer gespannten Feder die Summe von Rechtecken aus

d.h.

vorstellen, so dass wiederum das Integral Verwendung finden kann:

und wenn bei s1=0 begonnen wird, dann 

was allgemein die Formel 

wäre.

Code:
ec60ad