Tunneleffekt

Wenn man ein Alpha-Teilchen, d.h. einen Helium-Kern, auf einen schweren Atomkern schießt, so nimmt wegen der Coulombschen Abstoßung die kinetische Energie um so mehr ab, je kleiner die Entfernung zum Atomkern wird. Dafür steigt die potentielle Ernergie des Alpha-Teilchens weiter an. Wenn die anfängliche Kinetische Energie ausreichend war, dann überwindet das positiv geladene Teilchen den Bereich der Coulomb-Kräfte und gelangt in den Bereich der Kernbindungskräfte. Andersherum benötigen Teilchen genügend Kinetische Energie, um den Potenzialwall der Kernbindungskräfte vom Kern weg nach außen zu überwinden. Allerdings ist es dann beim radioaktiven Alphazerfall verwunderlich, dass Alpha-Teilchen sich vom schweren, radioaktiven Atomkern entfernen können, obwohl sie nicht über die notwendige Kinetische Energie verfügen. Man bezeichnet den Vorgang der Überwindung eines solchen Potenzialwalls ohne ausreichende Energie als Tunneleffekt. Er besagt, dass Teilchen durch Barrieren hindurch gelangen - tunneln - können, die eigentlich unüberwindbar sind. Erklärung findet er bei quantentheoretischen Betrachtungen, wonach in den physikalischen Aussagen bezüglich des Verhaltens von Teilchen in der Nähe des Atomkerns eine gewisse Unschärfe vorhanden ist und die Anzahl der ohne ausreichende Energie durch den Potenzialwall kommenden Teilchen immer mit mehr als Null angegeben wird. Das Verblüffende dabei ist, dass die Teilchen offenbar keine Zeit für die Tunnelung brauchen. Der Tunneleffekt ist also ebenso - "unendlich" - schnell wie die so genannte Quantenteleportation: Selbst über die größten Distanzen im Universum - "spüren" - entsprechend präparierte Photonenpaare den Zustand des jeweils anderen Partners, ohne dass ein messbarer Informationsaustausch und damit Zeit nötig wäre. Einstein sprach von "spukhaften Fernwirkungen", die ihm höchst suspekt waren. 

Günter Nimtz hat gemeinsam mit Professor Alfons Stahlhofen von der Universität Koblenz das Tunneln von Photonen untersucht, um festzustellen, ob dies wirklich ohne Zeitverlust geschieht, also mit unendlicher Geschwindigkeit. Dazu haben die beiden Physiker digitale Signale mit Mikrowellen durch ein geteiltes Prisma aus Acrylglas geschickt und gemessen, wie lange sie unterwegs sind, wenn sie an der Kontaktstelle der beiden Prismen reflektiert werden. Dann zogen sie die Prismen auseinander, sodass ein Teil der Photonen gezwungen war, eine zusätzliche Strecke durch die eigentlich undurchdringliche Barriere Luft zu tunneln. Die an der Prismawand abgelenkten Photonen und die in die zweite Prismahälfte durchgelassenen "getunnelten" Photonen kamen genau gleichzeitig an den beiden Empfangsdetektoren an. Letztere hatte die Luft-Barriere also ultra-schnell überquert, um so viel schneller als Lichtgeschwindigkeit, dass die Forscher es nicht messen konnten. Dabei stellte sich heraus, dass die digitalen Signale immer zur gleichen Zeit und unverformt ankamen, selbst wenn sie einen ganzen Meter zusätzlichen Weg zurücklegen mussten. Daraus folgern Nimtz und Stahlhofen, dass beim quantenphysikalischen Tunneln tatsächlich keine Zeit vergeht, egal wie groß die Distanz ist. Das steht in völligem Einklang mit vielen Experimenten der Quantenphysik, wo der Tunneleffekt bisher aber nur auf atomaren Distanzen beobachtet wurde. Erklären lässt sich die unendliche Geschwindigkeit mit virtuellen Photonen, die sich am Ende der Tunnelbarriere wieder in reale Photonen verwandeln – auch dies nichts Neues, sondern von Nobelpreisträger Richard Feynman bereits vor Jahrzehnten vorhergesagt.

Integral Anwendungen

In naturwissenschaftlichen oder mathematischen Diskussionsboards oder in Vorlesungen oder Seminaren zur Angewandten Mathematik wird man immer wieder das Integral als mathematische Rechnungsart benutzen müssen, um beispielsweise Produkte der Art  f(x) * t berechnen zu können. Nachfolgend sollen einige Rechnungen vorgeführt werden.

Weg als Geschwindigkeit mal Zeit

Da die Geschwindigkeit als Wegzunahme pro Zeiteinheit,

definiert ist, kommt man auf den Weg, indem man die Gesamtzeit einfach mit der Geschwindigkeit multipliziert, d.h.

Soweit so gut. Etwas komplizierter wird es, wenn es sich um eine beschleunigte Bewegung handelt, so dass die Geschwindigkeit ständig größer wird und somit eine Funktion von der Zeit v(t) darstellt. Da die Beschleunigung wiederum als Geschwindigkeitszunahme pro Zeiteinheit definiert ist, kommt man auf die Geschwindigkeit, indem man den Zahlenwert der Beschleunigung mit der Gesamtzeit multipliziert, d.h.

Wollte man jetzt den Weg bei einer solchen beschleunigten Bewegung bestimmen, so müsste man in einem Diagramm Rechtecke bilden, die als Ordinate das Produkt a*t und als Abzisse ein kleines Zeitintervall

enthalten würden. Das Aufsummieren solcher Rechtecke stellt die typische Anwendung des Integrals dar, so dass geschrieben werden kann, dass der Weg s gleich:

und wenn t1 = 0 ist, dann

wobei dies dann auch die bekannte Formel 

ist. Will man also wissen, welchen Weg s ein Stein in t = 2 Sekunden zurück legt, den man in einen Brunnenschacht fallen lässt, dann kann man mit der konstanten Fallbeschleunigung

rechnen - gebräuchlich ist hier das Formelzeichen g. Somit könnte selbstverständlich die Formel

benutzt werden, da es um das Thema Integral gehen soll, also dies auch noch einmal per Integral:

Arbeit als Kraft mal Weg
Bei konstantem Kraftaufwand wird die Arbeit (Energie) einfach aus Kraft mal Weg,

berechnet. Allerdings bleibt die Kraft nicht immer konstant, so dass wiederum die Summe von Rechtecken aus

gebildet werden muss. Ein Anwendungsbeispiel wäre hier die Energie einer gespannten Feder, wobei sich die Federkraft aus dem Produkt der Federkonstanten D und dem Weg s berechnet, d.h. 

Wiederum kann man sich zur Berechnung der Arbeit einer gespannten Feder die Summe von Rechtecken aus

d.h.

vorstellen, so dass wiederum das Integral Verwendung finden kann:

und wenn bei s1=0 begonnen wird, dann 

was allgemein die Formel 

wäre.

Code:
ec60ad