Methode zum Nachweis des Wertes der Schallgeschwindigkeit per Rechnung

Das Finden einer passenden Modellvorstellung zur Erklärung unterschiedlicher physikalischer Phänomene mit Hilfe einer universalen Ursache ist das eine Ding – der Nachweis der Richtigkeit solcher Ansichten ein anderes. An dieser Stelle soll zumindest ein Weg skizziert werden, mit dessen Hilfe es möglich wäre, rechnerisch zu bestimmen, wie schnell eine Schallwelle durch eine Kette elastischer Teilchen läuft. Bei der Erzeugung und Übertragung von Schall in Luft, d.h. in Gasen oder anderen Fluiden, sowie bei der Erzeugung und Übertragung von Licht durch ein Medium, welches teilweise als Äther bezeichnet wird, kann von einem einfachen mechanischen Modell ausgegangen werden, d.h. es sollen Masseteilchen vorhanden sein, die elastisch miteinander verbunden sind. Ziel wäre es, den Bewegungsvorgang einer Auslenkung per Membran an einem einfachen Beispiel rechnerisch zu betrachten. Eine auslenkende Apparatur oder auch Membran übt Kraft auf ein elastisches Gasvolumen aus. Es soll der Bewegungsvorgang einer elastisch gelagerten Masse, die durch eine Membran ausgelenkt wird, durchgerechnet werden. Masse-Feder-Modell als Darstellung eines Luftvolumens Es ist bekannt, dass sich ein Gaskörper, z.B. ein Luftvolumen, elastisch verhält und damit komprimierbar ist. Zum anderen besitzen Gasmoleküle ein Gewicht, d.h. sie haben eine bestimmte Masse. Somit wäre die Vermutung begründet, dass die Geschwindigkeit der Ausbreitung einer Schallwelle etwas mit den Eigenschaften Elastizität und Masse zu tun hätte. Um eine rechnerische Handhabung zu ermöglichen, wird ein Luftvolumen mit der Länge l und der Masse m in ein Modell aus Druckfeder und Masse überführt.

Wird eine Membran ausgelenkt und übt somit auf die Druckfeder, welche ein komprimierbares Gasvolumen darstellen soll, Kraft aus, so wird die Druckfeder (das Gasvolumen) kontrahiert (zusammengepresst), da die Masse aufgrund der Massenträgheit verharrt. Die komprimierte Feder (zusammengepresstes Gasvolumen) erzeugt allerdings auch eine Kraftwirkung auf die Masse des Gasvolumens, so dass diese beschleunigt wird und somit einen bestimmten Weg pro Zeit zurück legt. Ziel sei es, rechenbar zu machen, wieviel Zeit t vergeht, bis die Länge l des Gasvolumens durchschritten worden ist, d.h. so wird rechenbar, wielange ein Impuls benötigt, durch dieses Gasvolumen zu laufen und mit welcher Geschwindigkeit

 

dies geschieht. Der Begriff Federkonstante mit dem Formelbuchstaben D und der Einheit



ist gut eingeführt, um den Zusammenhang zwischen einer Kraft F und der Längenänderung der Feder herzustellen. Die Formel lautet:





Allerdings muß die Federkonstante für ein Gasvolumen erst hergeleitet werden, was im Beitrag Federkonstante Luft vorgeführt wird. An dieser Stelle sei nur die Formel der Federkonstante eines Gasvolumens notiert:






mit:

A ist Fläche in m²

ist Adiabatenkoeffizient, wobei 




 p ist Luftdruck in   wobei








V ist Volumen in m³

l ist Länge des Gaskörpers in m


Ausgangspunkt für einen mathematischen Ansatz ist die Überlegung, dass die Spannkraft $F\_spann$ jeweils genauso groß sein muß wie die Traegheitskraft $F\_traeg$ des Luftvolumens, wobei:




 und



 mit:

a ist Beschleunigung in m/s²

wobei:



somit:

 

und

m ist Masse in kg, wobei:







mit:

  ist Dichte in kg/m³.


Die Dichte der Luft beträgt:



So ergibt sich die Gleichsetzung:


 

  also:

 

 Mit Einsetzung:





 gilt:



 Und Einsetzung:




gilt:



umgeformt:




Wurzel:




Es stellt sich die Frage, wann der Zustand am Anfang des Luftvolumens am Ende ankommt?Nach dem Motto "Wir sind auf dem Wege" soll angenommen werden, dass die Schallwelle den Gaskörper durchlaufen hat, wenn das Ende des Luftvolumens um   verschoben worden ist - und es soll gelten:



Unter diesen Prämissen hätte man dann:








Setzt man die Zahlenwerte ein:





Dies ist ungefähr der bekannte Zahlenwert für die Schallgeschwindigkeit in Luft.

Bücher: Darstellung und Erläuterung einer universalen physikalischen Ursache anhand der Sinneswahrnehmungen Schall und Licht von Gerhard Kemme

Buchtitel:
Bücher: Darstellung und Erläuterung einer universalen physikalischen Ursache anhand der Sinneswahrnehmungen Schall und Licht von Gerhard Kemme

Klappentext:
Erläuterung zu den Sinneswahrnehmungen Schall und Licht anhand der Darstellung eines grundlegenden Prinzips und Klärung der Frage, wie es zu den konstanten Geschwindigkeiten bei solchen Signalübertragungen kommt.

Raketengrundgleichung

Raketengrundgleichung, rechnerischer Zusammenhang zwischen Raketengeschwindigkeit, Strahlgeschwindigkeit und der Raketenmasse.

Herleitung der Raketengrundgleichung

Die Gleichung lautet:

v_RakEnd = v_Strahl * ln (m_Startmasse/m_RakEnd)

wobei:

v_Rak - Geschwindigkeit der Rakete
v_RakEnd - Endgeschwindigkeit der Rakete nach Brennschluss
v_Strahl - Geschwindigkeit des Strahls
m_Startmasse - [[Masse]] der Rakete einschließlich Treibstoff
m_Rak - Masse der Rakete während der Brenndauer
m_RakEnd - Masse der Rakete nach Brennschluss
p - Gesamtimpuls

Das Differential des Gesamtimpulses wäre dann:

dp = d(m_Rak * v_Rak) + (- dm_Rak)*(v_Rak - v_Strahl) = 0

dp = v_Rak*dm_Rak + m_Rak*dv_Rak - v_Rak*dm_Rak + v_Strahl*dm_Rak = 0

(Anm: mit Multiplikation Differentiale d(u*v)=v*du + u*dv)

dp = m_Rak*dv_Rak + v_Strahl*dm_Rak = 0

wegen: v_Rak*dm_Rak - v_Rak*dm_Rak heben sich auf

somit:

m_Rak*dv_Rak + v_Strahl*dm_Rak = 0

dv_Rak = - v_Strahl*dm_Rak / m_Rak

integriert:

v_Rak = - v_Strahl * Int (dm_Rak / m_Rak) =
v_Rak = - v_Strahl * [ln m_Rak]
(Anm: Stammfunktion von 1/x ist ln x )

mit Integrationsgrenzen: m_Startmasse und m_RakEnd
v_RakEnd = - v_Strahl * [ln m_Rak]_(m_Startmasse)_(m_RakEnd)=
v_RakEnd = - v_Strahl * {ln (m_Startmasse) - ln (m_RakEnd) }
v_RakEnd = - v_Strahl * ln (m_Startmasse / m_RakEnd)
(Anm: ln (u) - ln (v) = ln (u/v) )

Beispiel für einen Ionenantrieb

v_RakEnd = 24500 m/s * ln ( 486.3 kg/404 kg) = 4543 m/s

Mit:

v_Strahl = 24500 m/s
m_Startmasse = 486.3 kg (Startgewicht mit 81.5 kg Xenon-Gas als Treibstoff und 404 kg Konstruktionsmaterial)
m_RakEnd = 404 kg Konstruktionsmaterial
v_RakEnd = 4543 m/s Endgeschwindigkeit im Space nach Verbrauch des Treibstoffvorrates.

Aus dieser Formel ergibt sich, dass die erreichbare Endgeschwindigkeit v_RakEnd groß ist, wenn die Geschwindigkeit des Gasaustritts (v_Strahl] aus der Düse besonders groß und das übrigbleibende Gewicht (m_RakEnd) ohne Treibstoff, klein ist.

Ionenantrieb

In der Raumfahrt zu anderen Planeten des Sonnensystems oder sogar zu anderen Fixsternen (bisschen weit) kommt es auf hohe Geschwindigkeiten an, damit Zeit gespart wird.

Raketengrundgleichung

Eine Grundbedingung für die Raumfahrttechnologie ergibt sich aus der sogenannten Raketengrundgleichung:

v_end = v_gasaustritt * ln (m_o/m_end)

Beispiel für ein Raumfahrzeug mit Ionenantrieb:

v_end = 24500 m/s * ln ( 486.3 kg/404 kg) = 4543 m/s

Mit:
v_gasaustritt = 24500 m/s
m_0 = 486.3 kg (Startgewicht mit 81.5 kg Xenon-Gas als Treibstoff und 404 kg Konstruktionsmaterial)
m_end = 404 kg Konstruktionsmaterial
v_end = 4543 m/s Endgeschwindigkeit im Space nach Verbrauch des Treibstoffvorrates.

Aus dieser Formel ergibt sich, dass die erreichbare Endgeschwindigkeit v_end dann groß ist, wenn die Geschwindigkeit des Gasaustritts aus der Düse v_gasaustritt besonders groß und das übrigbleibende Gewicht m_end, nachdem fast der gesamte Treibstoff aufgebraucht worden ist, klein ist.

Wirkungsweise Ionenantrieb

 

Im Vergleich zu einem - herkömmlichen - chemischen Raketenantrieb ist die Geschwindigkeit des Gasaustritts bei einem Ionenantrieb ziemlich groß, so dass die Leistungsausbeute ungefähr zehnmal größer ist als bei einem Feststoff- oder Flüssigkeits-Triebwerk - allerdings wird eine hohe Beladung für die Erzeugung der elektrischen Energie mitgeschleppt, welche zur Ionisierung  der Atome mittels Beschuß durch energiereiche Elektronen benötigt wird. Unter Ionisierung oder Ionisation versteht man die Herauslösung von Elektronen aus einem Atom. Im Falle dieses Ionenantriebs geschieht dies durch den Beschuß mittels Elektronen. Werden auf diese Weise Elektronen abgetrennt, bleibt ein positiv geladenes Ion zurück, welches man in einem elektrischen Feld beschleunigen kann.

Als Treibstoffe können Xenon, Quecksilber, Krypton, Cäsium oder Rubidium dienen. Meistens wird Xenon-Gas als Treibstoff verwendet. Dessen Atome werden durch energiereiche Elektronen in positiv geladene Ionen umgewandelt, die in einem elektrischen Feld beschleunigt werden. Für den Vorgang der Ionisation wird vergleichsweise viel elektrische Energie verwendet, die man momentan durch Solar-Module auf meterlangen Sonnenpaddel gewinnt. Die Ionen werden dann mit der vergleichsweise hohen Geschwindigkeit von 30 - 200 km/s aus der Düse ins Weltall ausgestoßen. Die Energie, welche zur Ionisierung benötigt wird, kommt von Solarzellen oder von einem Kernreaktor.

Ausblick

Der zuvor geschilderte Ionenantrieb besitzt wenig Schubkraft  - aus diesem Grunde wird ein neuer Typus von Ionenantrieb entwickelt, bei dem aus den produzierten Ionen mit Hilfe eines Hochfrequenzgenerators ein extrem heißes Plasma erzeugt wird, dessen Leistungsausbeute größer ist. In naher Zukunft soll so eine Leistung von 200 kW realisiert werden. Da momentan "nur" Solarenergie Verwendung findet, bleibt die verfügbare elektrische Energie begrenzt - hier wird daran geforscht, die Solar-Module durch einen Kernreaktor zu ersetzen.

Warum sich ein Elektron in einem Teilchenbeschleuniger nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen kann

Bei dem Thema Lichtgeschwindigkeit oder gar Überlichtgeschwindigkeit wird man häufig - sicherlich mit Recht - hören, dass die bewegten Nukleonen oder Teilchen in einem Synchrotron oder Teilchenbeschleuniger nur bis zur Lichtgeschwindigkeit also c=299.792,458 km/s beschleunigt werden können - somit Überlichtgeschwindigkeit in solcher Großforschungsanlage nicht möglich wäre - siehe auch:

http://www.hephy.at/physik/die-technik/teilchenbeschleuniger/

Was gemäß dem eigenen Informationshorizont zu fehlen scheint, ist eine plausible und öffentliche Begründung für diesen Sachverhalt. Zumindest soll hier einmal eine Begründung gewagt werden.
Bei Auslenkungs- und Beschleunigungs-Vorgängen wie man sie von der Membran eines Lautsprechers kennt, durch welchen eine Luftsäule in Schwingungen versetzt wird, gilt, dass ein Mechanismus vorhanden sein muß, der dafür sorgt, dass der Platz vor einer auslenkenden Membran geräumt wird - da - was aus der Alltagserfahrung bekannt ist - ein Platz erst neu eingenommen werden kann, wenn das zuvor raumfüllende sich weiter bewegt hat. Die Natur macht dies nach Beobachtung durch einen vorauseilenden und dann schwingenden Impuls, welcher sich bei Schall in einem fluiden oder festen Übertragungsmedium mit Schallgeschwindigkeit und im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit bewegt.

Betrachtet man den Schwingungsvorgang eines Lautsprechers, dann wird man feststellen, dass oftmals nur eine Maximalgeschwindigkeit von 1 m/s erreicht wird - allerdings wird die so angeschobene Luftsäule dann mit Schallgeschwindigkeit von 334 m/s bewegt. Solche Beispiele könnten in größerer Zahl gebracht werden, d.h. man schiebt Wasser noch mit der Hand und sieht doch bereits neue Wellen am gegenüberliegenden Ufer des Sees. Selbstverständlich bewegt sich etwas Angeschobenes schneller als das Anschiebende, denn es kann erst weggeschoben werden, wenn das Weggeschobene irgendwo einen Platz, d.h. Freiraum, hat, wo es hin kann - somit startet bei einem Anschiebevorgang immer ein schwingender Impuls, der einen solchen Bewegungsvorgang vermittelt - und dieser Impuls ist wesentlich schneller als die anschiebende Membran.
Wenn der Impuls mit 334 m/s durch die Luftsäule durch ist, dann bewegt sich das Ende - nach dieser Modellvorstellung - ein Stückchen weiter - danach rücken vom Ende her Volumenanteile nach, bis auch die auslenkende Membran des Lautsprechers entsprechend vorrückt. So hat jeder Auslenkungs- oder Schiebungs-Vorgang zwei Geschwindigkeiten, einmal die der auslenkenden Apparatur und zum anderen die Schallgeschwindigkeit des Mediums, mit welcher die Bestandteile des Mediums einzeln fortbewegt werden - gilt natürlich auch für einen Bleistift, den man verschiebt - siehe:

http://de.theoriefinder.wikia.com/wiki/Verschiebung_eines_Gegenstandes

Beachtet man allerdings den Vorgang bei unterschiedlichen Gelegenheiten, dann erkennt man bei einer Auslenkung in Wasser eine Bugwelle und eine sich sehr schnell entfernende Wellenfront.

https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=i2xSYNJQ808

Der Impuls entfernt sich sehr viel schneller als es dem Auslenkungsvorgang entspricht, dies ist eigentlich ein erstaunliches Bild, wenn man bei unterschiedlichen Gelegenheiten drauf achtet. Nur rein formal und prinzipiell sollte begründet werden, wieso elektrische und magnetische Felder die Höchstgeschwindigkeit c haben. Vorweg: Für ein elektrisches Feld sei dies zugestanden und für ein magnetisches Feld einfach nicht bekannt. Wobei ein Feld eigentlich statisch ist und sich nur in seiner Aufbauphase sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit ausbreitet.

Ein elektrisches Feld breitet sich mit annähernd c in einem Stromkreis vom negativen als auch vom positiven Pol aus. Nachdem es sich ausgebreitet hat, ist es ein ruhendes Feld, d.h. es handelt sich um statische Elektrizität. Erst jetzt kann man sich ein solches Feld als Beschleunigungsstrecke in einem Teilchenbeschleuniger denken und stellt sich ein Elektron oder Proton als Probekörper vor, der dann entsprechend bewegt wird. Allerdings kann so auch noch nicht gesagt werden, bis zu welcher Geschwindigkeit des umlaufenden Teilchens die Coulomb-Kraft des elektrischen Feldes der Beschleunigungsstrecke aufgebaut werden kann, die dessen Beschleunigung bewirkt. Somit wäre eine weitere Modellannahme bezüglich der Ursache und Wirkungsweise eines elektrischen Feldes notwendig. Ich gehe davon aus, dass ein solches Feld aus ständig neu erzeugten Impulsen besteht, die sich mit Lichtgeschwindigkeit durch das Vakuum ausbreiten. Wenn ein solches Feld, welches aus lichtschnellen Impulsen besteht, dann die umlaufenden Nukleonen, z.B. Elektronen, beschleunigen soll, geht es natürlich nicht schneller als bis zur Lichtgeschwindigkeit.

Nachfolgend die Abbildung einer Beschleunigerstrecke in einem Teilchenbeschleuniger, wobei die Impulse des Elektrischen Feldes als Modellannahme sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und somit die umlaufenden Teilchen nur auf maximal c, d.h. Lichtgeschwindigkeit, beschleunigt werden können.