Raketengrundgleichung

Raketengrundgleichung, rechnerischer Zusammenhang zwischen Raketengeschwindigkeit, Strahlgeschwindigkeit und der Raketenmasse.

Herleitung der Raketengrundgleichung

Die Gleichung lautet:

v_RakEnd = v_Strahl * ln (m_Startmasse/m_RakEnd)

wobei:

v_Rak - Geschwindigkeit der Rakete
v_RakEnd - Endgeschwindigkeit der Rakete nach Brennschluss
v_Strahl - Geschwindigkeit des Strahls
m_Startmasse - [[Masse]] der Rakete einschließlich Treibstoff
m_Rak - Masse der Rakete während der Brenndauer
m_RakEnd - Masse der Rakete nach Brennschluss
p - Gesamtimpuls

Das Differential des Gesamtimpulses wäre dann:

dp = d(m_Rak * v_Rak) + (- dm_Rak)*(v_Rak - v_Strahl) = 0

dp = v_Rak*dm_Rak + m_Rak*dv_Rak - v_Rak*dm_Rak + v_Strahl*dm_Rak = 0

(Anm: mit Multiplikation Differentiale d(u*v)=v*du + u*dv)

dp = m_Rak*dv_Rak + v_Strahl*dm_Rak = 0

wegen: v_Rak*dm_Rak - v_Rak*dm_Rak heben sich auf

somit:

m_Rak*dv_Rak + v_Strahl*dm_Rak = 0

dv_Rak = - v_Strahl*dm_Rak / m_Rak

integriert:

v_Rak = - v_Strahl * Int (dm_Rak / m_Rak) =
v_Rak = - v_Strahl * [ln m_Rak]
(Anm: Stammfunktion von 1/x ist ln x )

mit Integrationsgrenzen: m_Startmasse und m_RakEnd
v_RakEnd = - v_Strahl * [ln m_Rak]_(m_Startmasse)_(m_RakEnd)=
v_RakEnd = - v_Strahl * {ln (m_Startmasse) - ln (m_RakEnd) }
v_RakEnd = - v_Strahl * ln (m_Startmasse / m_RakEnd)
(Anm: ln (u) - ln (v) = ln (u/v) )

Beispiel für einen Ionenantrieb

v_RakEnd = 24500 m/s * ln ( 486.3 kg/404 kg) = 4543 m/s

Mit:

v_Strahl = 24500 m/s
m_Startmasse = 486.3 kg (Startgewicht mit 81.5 kg Xenon-Gas als Treibstoff und 404 kg Konstruktionsmaterial)
m_RakEnd = 404 kg Konstruktionsmaterial
v_RakEnd = 4543 m/s Endgeschwindigkeit im Space nach Verbrauch des Treibstoffvorrates.

Aus dieser Formel ergibt sich, dass die erreichbare Endgeschwindigkeit v_RakEnd groß ist, wenn die Geschwindigkeit des Gasaustritts (v_Strahl] aus der Düse besonders groß und das übrigbleibende Gewicht (m_RakEnd) ohne Treibstoff, klein ist.